11.1 平方根（同步课件）-八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

11.1 平方根
数学（京改版）
八年级 上册
第十一章 实数和二次根式
学习目标
1、理解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根.
2、理解算术平方根的非负性.
3、通过平方运算求某些非负数的算术平方根.
4、掌握平方根的意义及性质.
5、理解平方根与算术平方根的联系与区别．
　
导入新课
自由下落物体的高度 (米)与下落时间 (秒)的关系为h=4.9t2 ．有
一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：当h=10时 ，得19.6=4.9t2 ，
所以 t2=4
那t应为何值呢？
讲授新课
知识点一 算术平方根
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm

若题中的面积变为下表中的数值，你能知道对应的正方形画布边长吗？
1
3
4
6
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
讲授新课
一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数.
0的算术平方根是0.
记作：
规定：
讲授新课
试一试：1.你能根据等式 122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
144的算术平方根是12，即144＝12.
?
x????=????时，正数????就是2的算术平方根，即????=????.
?
y????=????时，正数y就是3的算术平方根，即????=????.
?
w????=????时，正数w就是5的算术平方根，即????=????.
?
z????=????时，正数z就是4的算术平方根，即????=????=????.
?
2.试求出上面问题中的x、y、z、w的值.
非平方数的算术平方根只能用根号表示.
讲授新课
典例精析
解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30，即????????????=30;
?
【例1】求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ????????????????； (4) 14．
?
(3)因为(????????)????=????????????????，所以????????????????的算术平方根是????????，即????????????????=????????;
?
(2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即????=1；
?
(4)14的算术平方根是????????.
?
讲授新课
方法归纳
a的算术平方根
互为逆运算
求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
是算术平方根的运算符号
x = ????
?
x2 = a
(x≥0)
算术平方根的求解方法
读作：根号a
讲授新课
练一练
1、计算：
（1） ； （2） .
解：(1)原式=7+3-1=9；
(2)原式=2+3-4=1.
讲授新课
2．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
3． 的算术平方根是 ；
4． 的算术平方根是 ；
5．若 ，则 ．
7
16
讲授新课
知识点二 算术平方根的性质
想一想：(1)负数有算术平方根吗？
只有非负数（正数和0）有算术平方根，负数没有算术平方根（即当a<0时，????无意义）.
?
(2)一个非负数的算术平方根可能是负数吗？
不可能，非负数的算术平方根是非负数.
讲授新课
算数平方根具有双重非负性.
(a≥0)
非负数
算术平方根的性质:
正数的算术平方根是正数；
0的算术平方根是0；
负数没有算术平方根.
知识归纳
讲授新课
典例精析
解: 因为|m-1| ≥0，????+????≥0，又|m-1| +????+????=0,
所以 |m-1| =0，????+????=0，
所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
?
【例2】若|m-1| + ????+????=0,求m+n的值.
?

归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
讲授新课
练一练
1.已知： 求X-3Y+4Z的值.
解：由题意得：
解得
讲授新课
知识点三 算术平方根的实际应用
解:将s＝19.6代入公式
s=4.9t2，
得 t2 =4 ，
所以正数 t2 =????=????(秒).
即铁球到达地面需要2秒.
?
做一做：自由下落物体下落的距离s（米）与下落时间t（秒）的关系为s=4.9????????．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
?
讲授新课
典例精析
【例3】如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
所以帐篷支撑竿的高是????????米.
?
解：由题意得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理得
????????=?????????????????????????=????.?????????????.????????=????????(米)
?
讲授新课
练一练
h
d
1、“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远.如图,若观测点的高度为h,观测者视线能达到的最远距离为d,则 ,其中R是地球半径，约等于6400 km.小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m,她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值.
解：
由R=6400 km，h=0.02 km，得
讲授新课
知识点四 平方根的概念及其性质
（2）平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？
平方等于正数的数有2个，它们互为相反数.
想一想：（1）平方等于????????????的数有几个? 平方等于 0.64 的数呢?
?
平方等于????????????的数有2个，即????????和?????????；
平方等于 0.64 的数也有2个，即±0.8.
?
讲授新课
知识归纳
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）.
例如:(±4)2=16，则4和-4都是16的平方根；
即16的平方根是4和-4；其中，4还是16的算术平方根.
平方根的概念
讲授新课
议一议:（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
（3）因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
平方根的性质：一个正数有两个平方根（互为相反数）；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.

2个
1个
平方根如何表示呢？
讲授新课
知识归纳
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根????（一般省略+），另一个是 ?????.它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±???? ，读作“正、负根号a”.
?
(a是非负数)
根号
a叫被开方数
读作：正、负根号a
意义：a的平方根（a≥0）
和为0
平方根的表示方法
讲授新课
典例精析
【例4】求下列各数的平方根：
(1) 64 ；(2) ????????????????????；(3) 0.0004；(4)(-25)2 ；(5)11.
?
解:(1)因为 (?8)2 = 64，所以 64的平方根是?8，即±????????=±????.
?
(2)因为 (?????????????)2 =????????????????????，所以????????????????????的平方根是?????????????，即±????????????????????=±????????????.
?
(4)因为 (?25)2 =(-25)2，所以(-25)2的平方根是?25，即±(?????????)????=±????????.
?
(5)11的平方根是±????????.
?
(3)因为(?0.02)2 = 0.0004， 所以 0.0004 的平方根是??0.02，即±????.????????????????=±????.????????.
?
讲授新课
探究：开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
想一想：开平方与平方运算有什么关系呢？
a的平方根
底数
幂
被开方数
互为
逆运算
指数
根号
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
开平方运算
平方运算
（a≥0）
（a≥0）
讲授新课
开平方运算
±3的平方是9，即
例如：
9的平方根是±3，即
平方运算
互为
逆运算
讲授新课
探究：????????与????????的关系
?
64
7.2
0
?
????表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义:
????????=????(a≥0)
?
.
想一想：(1)根据所学知识填一填，并说明理由.
;
;
;
;
讲授新课
2
3
0.5
2
3
0.5
a
0
-a
(a>0)
(a=0)
(a<0)
(2)填一填，并说说你的理由.
对于任意数a，????????一定等于a吗？
?
????????=？
?
当a≥0时，????????=a
?
.
讲授新课
之间有什么关系？一定相等吗？
(3) 与
不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等.
当a<0 时，(????)????没有意义.
?
讲授新课
练一练
1、若一个正数x的两个平方根分别为3a-5和1-2a,求2x+2的平方根.
解：由题意得（3a-5）+（1-2a）=0,
解得a=4.
∴3a-5=12-5=7
∴x=72=49
∴ 2x+2=2×49+2=100.
∴2x+2的平方根为±10.
当堂检测
1.化简（?????）????的结果是（ ）
A.-4 B.4 C.±4 D.2
2.若????=????，则a的值为（ ）
A.-9 B.9 C.-3 D.????
3.要使式子?????????有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x＞3 B.x＜3 C.x≥-3 D.x≥3
?
B
D
B
4.下列说法正确的是（　　）
A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根 D.0没有算术平方根
A
当堂检测
5.若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 .
6.????的算术平方根是 ；（????????）????的算术平方根是 .
7.若????+????=????，则(????+????)????= ．
8.已知a,b满足(a-1)2+????+????=0，则a+b= ．
?
16
49
-1
当堂检测
10.若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则a= ，这个正数为 ；
1
16
11.若x2=3，则 x= ， 若????2=3，则x= .
?
±3
±3
?
9.平方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于它本身的数是 ；
算术平方根和平方根相等的数是 .
0
0和1
0
当堂检测
12.求下列各数的算术平方根:（1）25； （2）????????????????；（3）10-6 ；（4）????????.
?
解：(1)因为52=25，所以25的算术平方根是5， 即????????=????.
?
(4)????????=????，22=4，所以????????的算术平方根是2.
?
(3)因为(10-3)2=10-6，所以10-6的算术平方根是10-3，即 ?????????????=10-3;
?
(2)因为(????????)????=????????????????，所以????????????????的算术平方根是????????，即????????????????=????????.
?
当堂检测
13. 已知4x2=81，求x的值.
解：∵4x2=81，
∴x2=????????????,
∴x=±????????,
∴x的值为±????????.
?
当堂检测
14.(1)已知y=?????????+?????????+????，求x+y的值；
解：∵7－x≥0，x－7≥0，
∴x－7＝0，x＝7，
∴y＝5，
∴x＋y＝12.
(2)若4a＋1的算术平方根是3，求a的值．
解：∵4a＋1的算术平方根是3，
∴4a＋1＝32＝9，
∴a＝2
?
当堂检测
15. 若?????????=2，正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2，求a+b+c的平方根.
?
解：∵正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2，
∴2c-1-c+2=0.解得c=-1.
∴b=（-2-1）2=9.
∵ ?????????=2，
∴a=5.
∴a+b+c=5+9-1=13.
∴13的平方根是±???????? .
?
当堂检测
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2=60,
∴x2=????????，
∴????=????????=????????=????.????,
所以每块地板砖的边长是0.5 m.
?
16.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
课堂小结
一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
0的算术平方根是0.
算术平方根：
????中的双重非负性：
?
a≥0
课堂小结
平方根的性质
平方根的概念
正数有两个平方根，两个平方根互为相反数；0的平方根是0；
负数没有平方根.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根.a﹙a≥0﹚的平方根表示为 .
谢 谢~