福建省武夷山一中实验班2024-2025学年高二（上）段考数学试卷(含答案）

2024-2025学年福建省武夷山一中实验班高二（上）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
2.将直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是( )
A. B. C. D.
3.已知两条平行直线：，：间的距离为，则( )
A. B. C. D. 或
4.直线关于直线对称的直线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则圆心的轨迹被直线截得的弦长为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. 与不垂直 B.
C. 与夹角是 D. 直线与直线的距离是
8.已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 已知向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线
10.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，，，点满足设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 点，都在曲线内部
C. 当，，三点不共线时，则
D. 若，则的最小值为
11.如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：垂直，则______．
13.九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图，在堑堵中，，分别是，的中点，，动点在线段上运动，若，则 ______．
14.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，复数．
求为何值时，为纯虚数；
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，的面积为，求的值．
17.本小题分
已知的顶点，在边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在直线方程为．
求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
求直线的方程；
在线段上是否存在点，满足，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由．
18.本小题分
在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，与底面的角等于，面与面的交线为．
求证：；
求出点的位置，使得平面平面，并求二面角的值；
在直线上是否存在点，使二面角为，若不存在，请说明理由，若存在，求线段的长．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
已知集合，，，，，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为．
(ⅰ)求和的值；
(ⅱ)求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值．
参考答案
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15.解：为纯虚数，
，．
复数在复平面内对应的点位于第四象限，
，，
的取值范围为．
16.解：由及正弦定理得：
，
，，
，
，；
，，
由余弦定理得，，
，，即，
，
．
17.解：设直线在，轴上的截距分别为，，
当时，直线经过原点与，则直线斜率，
直线方程为，即；
当时，可设直线方程为，
代入坐标，可得，
直线方程为；
综上所述：直线方程为或．
由题意知：点在直线上，则可设，
中点为，
，解得，．
设点关于直线的对称点的坐标为，
则点在直线上，线段的中点在角平分线：上，
且．
由题意知，解得，即，
因为，
所以直线的方程为．
由为直线：与直线：的交点，
联立，解得，则．
由点在线段上，由，，
可得，则，
即：，
可设，又，
因为，所以，解得，
由，，所以存在．
18.解：证明：因为底面为矩形，，平面，平面，
所以平面，面，又平面平面，
所以；
点是中点，连接，，，，，，
所以，，是平面内两条相交直线，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
与底面的角就是，
二面角的平面角就是，
为等腰直角三角形，，，
所以，所以，
所以二面角的平面角为；
过作延长线的垂线，垂足为，过作的平行线，交延长线于，
由平面平面，
所以平面，
过作的垂线，垂足为，，，
就是二面角的平面角，，
则，
即是中点，
．
19.解：直线是两个平面与的交线，
所以直线上的点满足，
不妨设，则，，
不妨设，则，，
所以直线的一个方向向量为：；
记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，，，，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为的正方体．
即，，，，，，，
所以为截去三棱锥所剩下的部分．的体积，
三棱锥的体积为，
所以的体积为，
所以由对称性知．
记集合中所有点构成的几何体为，如图．
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，
所以的体积．
由题意知平面的方程为，由题干定义知其法向量为，
平面方程为，由题干定义知其法向量为，
所以，
由图知两个相邻面所成的角为钝角，
所以所成二面角的余弦值为：．
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