广东省东莞市五校2024-2025学年高二（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市五校高二（上）第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过，两点，直线的倾斜角为，那么与( )
A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直
2.若向量，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线：与：之间的距离为，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.已知直线过点，其方向向量是，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
5.九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱中，，、分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
7.过点有一条直线，它夹在两条直线：与：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法中，正确的有( )
A. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是
B. 在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称
C. 在平面直角坐标系中，直线：上的动点到坐标原点距离的最小值为
D. 将正方形沿对角线折成直二面角，则与平面所成角为
11.已知正方体的棱长为，为的中点，为侧面的动点，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C.
D. 以为球心，为半径的球被正方体表面所截的总弧长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过点，且与直线平行，则 ______．
13.已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则 ______．
14.在平面直角坐标平面中，圆心在原点，半径为的圆可以用表示已知两定点与位于动直线：其中，不同时为的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，记，，
，则由中的所有点所组成的图形的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点、、，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在的直线的方程；
三角形的面积．
16.本小题分
已知空间三点、、．
若向量与平行，且，求的坐标；
求以、为邻边的平行四边形的面积．
17.本小题分
如图，在底面为菱形的平行六面体中，，分别在棱，上，且，且．
求证：，，，共面；
当为何值时，．
18.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
求证：；
为何值时，的长最小？
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知点，直线：其中，不同时为，且点不在直线上．
若点关于直线的对称点为，求点坐标；
求证：点到直线的距离；
当点在函数图象上时，中的公式变为，请参考该公式，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：、、，
线段的中点坐标为，易知边上的中线所在的直线的斜率不存在，
边上的中线所在直线的方程为．
，
边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．
直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
又，
故．
16.解：由已知可得，
因为向量与平行，设，其中，
则，解得．
所以或．
，因为，则，
所以以、为邻边的平行四边形的面积．
17.证明：在平行六面体中，连接、、、，
因为，所以，
结合，可得，即且，
所以四边形为平行四边形，可得、、、共面；
解：设，且、、两两所成角均为，则，
因为底面为菱形，所以，
，
若，则，即，
可得，
即，结合，化简得，即，所以．
综上所述，当时，．
18.解：证明：因为平面平面，
且平面平面，
又四边形为正方形，所以，
所以平面，又平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以，由知，，
所以以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
因为正方形，的边长都是，所以，
又，所以，，
所以
，
所以当时，．
因为取最小时，，所以，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，所以，，所以，
设平面与平面夹角为，
则．
即平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为点关于直线的对称点为，
所以，解得，
所以点坐标为；
证明：设，，这时与，轴都相交，
过作轴交于点，作轴交于点，
由，得，
所以，，
，
由三角形的面积公式可得，
所以，
可证明当或时仍成立，
综上；
解：令，
设，，
则表示函数图象上的点，即圆心在原点的单位圆轴上半圆上的点到直线的距离，原点到直线上点的最小距离，
表示函数图象上的点，即圆心在原点的单位圆轴上半圆上的点到直线的距离，
原点到直线上点的最小距离，
所以的最小值为．
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