2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学锡西分校高二（上）段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学锡西分校高二（上）段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知过，两点的直线的倾斜角是，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与：平行，则等于( )
A. 或 B. 或 C. D.
3.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.若点与的中点为，则直线必定经过点( )
A. B. C. D.
5.向量，，若，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图已知、、，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.正三棱柱中，，，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，点是棱上任意一点端点除外，则( )
A. 不存在点，使得
B. 空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有条
C. 过点与平面和平面所成角都等于的直线有且只有条
D. 过点与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10.如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则( )
A. ，，，四点共面
B. 在方向上的投影向量为
C.
D. 直线与所成角的余弦值为
11.在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”如图，在堑堵中，是的中点，，若平面过点，且与平行，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C. 当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D. 当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点，到直线：的距离相等，则 ______．
13.已知，，若夹角是钝角，则取值范围是______．
14.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为．
求直线的方程；
求点的坐标；
求直线的方程．
16.本小题分
已知是正方形，直线平面，且求：
求异面直线，所成的角；
求面和面夹角的大小．
17.本小题分
已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
求与原点距离最大的直线方程；
过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面．
求直线与平面所成角的余弦值．
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在空间几何体中，四边形，均为直角梯形，，，，．
如图，若，求直线与平面所成角的正弦值；
如图，设，
求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：边上的高所在的直线的方程为，
所以直线上的高的斜率，直线的斜率为．
所以直线的方程为，整理得．
角的平分线所在直线的方程为．
所以，解得，
故A．
由于直线的斜率，角的平分线的斜率，
设直线的斜率，
利用到角公式：，解得，
所以直线的方程为，整理得．
16.解：由于平面，，平面，
所以，，
四边形是正方形，所以，故AB，，两两垂直，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设异面直线，所成的角为，，
则，
由于，所以，
即异面直线，所成的角为．
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
设和面夹角的大小为，
所以，则，
即和面夹角的大小为．
17.解：证明：由可得：，
令，解得，，
经检验，，满足，
所以直线过定点．
易知当时，原点到直线的距离最大，
又，
所以直线的斜率为，
则其方程为，即，
故所求直线的方程为．
设直线的方程为，
设直线与轴，轴正半轴交点分别为，，
令，得，
令，得；
所以面积 ，
当且仅当，即时，面积最小，
此时，，，
的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．
18.证明：平面平面，平面平面，
，平面，平面，
平面，，
又，，，平面，
平面；
解：取中点为，连结，，
，，
，，
以为原点，建立如图所示坐标系，
由题意，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由，可得，则，
设直线与平面所成角为
则，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为；
假设存在点使得平面，
设，，
由知，，，
，，
由，可得，，
平面，为的法向量，
，即，得，
综上，存在点，即当时，点即为所求．
19.解：由题意知，，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，，，则，
因为，所以，
所以，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，即，
所以平面平面．
解：由知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为二面角的余弦值为，
所以，，
整理得，
解得或，
因为，所以，
所以．
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