天津市滨海新区塘沽一中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津市滨海新区塘沽一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.下列命题不正确的是( )
空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底
直线的方向向量是唯一确定的
若直线的方向向量和平面的法向量平行，则
在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定是
若，则是钝角
A. B. C. D.
3.已知，，若，则与的值分别为( )
A. ， B. ， C. D.
4.若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若直线过第一、三、四象限，则实数，满足( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
10.过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
11.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
12.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法都正确的是( )
存在点，使得
存在点，使得异面直线与所成的角为
三棱锥体积的最大值是
当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知空间向量，，且，则 ______．
14.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
15.：，与直线：平行，则直线与的距离为______．
16.已知，，若点在线段上，则的取值范围是______．
17.已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为______；直线关于直线对称的直线方程为______．
18.已知直线：，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为______；若直线不经过第三象限，则的取值范围是______．
19.直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为______．
20.设为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，当取最小值时， ______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
求所在直线的方程；
求高所在直线的方程．
求过点且与直线平行的直线方程．
22.本小题分
在棱长为的正方体中，为的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
23.本小题分
已知直线经过点．
若直线到原点的距离为，求直线的方程；
若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，
若时，求此时直线的纵截距．
若取最小值时，求此时直线的方程．
24.本小题分
已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
若为中点，求证：平面；
求直线与平面所成角的余弦值；
在线段上是否存在一点除去端点，使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.
18.或
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20.
21.解：因为是边的中点，，
所以，
因为，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即；
因为是边上的高，结合上问结论可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即．
因为直线过点且与直线平行，则其斜率，
所以其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为．
22.解：如图，正方体中，为的中点，
连接交于，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，
则，，两两垂直，
则可以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由于棱长为，则面对角线为，
则，
则，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为；
由知，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，即，
设直线与平面所成角为，
则；
根据知平面的一个法向量，
而，
所以点到平面的距离．
23.解：因为直线经过点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时，直线到原点的距离为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线到原点的距离为，
所以，解得，
此时直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或；
由题意可设此时直线方程为，
即此时，，
则，
解得，
即此时该直线的纵截距为或；
由题意知，直线斜率存在且不为，设直线方程为，
令，得到，令，得到，
由题知，，得到，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时直线方程为．
24.解：证明：如图，连接、交于，连接，
因为四边形为矩形，与交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面；
因为四边形为矩形，所以，
又平面底面，平面底面，平面，
所以底面，因为底面，所以，
又，则以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，
所以，
假设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角的平面角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
假设存在点满足题意，
设此时，则，
即，解得，
则，，
假设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
又由有平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以根据题意，则有，
解得，
所以在线段上存在一点除去端点，
使得平面与平面所成锐二面角的大小为，此时．
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