2024-2025学年山东省济南一中高二（上）学情检测数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省济南一中高二（上）学情检测数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，已知空间四边形，连接，，，分别是，的中点，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图，直线，，的斜率分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是( )
A. B. ，，
C. ，， D.
4.已知三点，，，则经过点且与直线平行的直线经过点( )
A. B. C. D.
5.已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.对于空间一点和不共线三点，，，且有，则( )
A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面 D. ，，，，五点共面
7.已知斜三棱柱所有棱长均为，，点、满足，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10.九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，在阳马中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 点到直线的距离为
D. 点到平面的距离为
11.在棱长为的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为______．
13.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______．
14.在空间中，已知平面过点和点及轴上一点，如果平面与平面的夹角
为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数；
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16.本小题分
一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点．
求点的坐标；
过点的直线与线段有公共点，求直线斜率的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点为中点．
求证：平面；
求点到直线的距离．
18.本小题分
如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为，且两夹角为．
求的长；
求与夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．
求与平面所成角的正弦值；
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：，，
，，解得；
由知，，，
向量与所成角为锐角，
，解得，
又当时，，可得实数的范围为且
16.解：一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点；
如图，设点关于轴的对称点为，则点在直线上，
，
直线方程为：，整理得．
令，得，
点坐标为．
由题意得，，，
由图可知，要使过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率的取值范围是或．
17.证明：连接，交于点，则为中点，连接，
因为点为中点，
所以，
因为，，
所以平面；
解：如图建立空间直角坐标系，
可得，，，，
设，夹角为，则，
故可得，
设点到直线的距离为，
则．
18.解：设，，，则两两夹角为，且模均为．
．
，
，即的长为．
．
．
，，
，．
与夹角的余弦值为．
19.证明：取棱长的一半为单位长度．则在中，，，，可知是直角三角形，可知．
又，，平面，
二平面，故AC平面又平面，平面，则平面平面．
取中点，连接，因为是等边三角形，所以，又平面，
平面平面，平面平面，故平面．
得是与平面所成的角．在直角中，，，故，即为所求．
假设存在点，使得平面平面如图，以为原点，分别以为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，，设是平面的法向量，
则，取．
设，其中则，
连接，因平面，平面，平面平面，故AC，则取与同向的单位向量，设是平面的法向量，
则，取，
由平面平面，知，有，解得，
故在侧棱上存在点且当时，使得平面平面．
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