北京大学附中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年北京大学附中高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.现有一批产品共件，已知其中件正品和件次品，现从中选件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是( )
A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品
C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品
4.如果满足，，的有且只有一个，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为( )
A. B. C. D.
7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则值不可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体甲被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则的值为
C. 数据，，，，，，，的中位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.下列结论正确的是( )
A. 过点作圆的切线，则切线方程为
B. 已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交
C. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11.如图，正方体的棱长为，点，分别在，上，，动点在侧面内包含边界运动，且满足直线平面，则( )
A. 过，，的平面截正方体所得截面为等腰梯形
B. 三棱锥的体积为定值
C. 动点所形成轨迹的长度为
D. 过，，的平面截正方体所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲、乙、丙各投篮一次三人投篮互不影响，则至多有一人命中的概率为______．
13.过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为______．
14.在梯形中，，，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，为中点，为中点，为中点．
求证：平面平面；
求证：平面．
16.本小题分
某学校为提高学生对红楼梦的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取份作为样本，将样本数据满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值．
求样本数据的第百分位数．
已知样本数据落在的平均数是，方差是；落在的平均数是，方差是求这两组数据的总平均数和总方差．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若且，求的外接圆半径．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面、分别是、的中点．．
求证：是直角三角形；
求四棱锥体积的最大值；
求平面与平面的夹角余弦值的范围．
19.本小题分
已知圆与直线相切于点，且圆心在轴的正半轴上．
求圆的方程；
过点作直线交圆于，两点，且，两点均不在轴上，点，直线和直线交于点证明：点在一条定直线上，并求此直线的方程．
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.或
14.
15.证明：因为底面，平画，
所以，
又因为，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
连接、，连接交于点，连接，
在中，，分别为，中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
在中，，分别为，中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面．
16.解：根据题意可得，；
前几组的频率依次为，，，，
样本数据的第百分位数在内，
样本数据的第百分位数估计为：
分；
样本数据落在的个数为，
落在的个数为，
样本数据落在的平均数是，方差是；落在的平均数是，方差是．
，
总方差．
17.解：由，可得，
又，
所以，
即，又，
则，可得，
又，所以；
因为且，则，可得，
由余弦定理可得 ，
即，
整理可得，解得或舍去，
所以的外接圆半径．
18.解：证明：设平面平面，
由于，平面，平面，
因此平面，而平面，
所以平面平面，
因此，而，因此，
而平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
故是直角三角形．
由于，，
所以是以为直径半圆上的点．
而，，，，平面，
所以平面，而平面，
因此平面平面，
故到平面的最大距离为，
四棱锥体积最大为．
设中点为，作过垂直的直线，
设平面与平面夹角为，
以为原点，，，过垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
并设．
易知，平面的一个法向量为，
因为，，
设平面的法向量为，
因此，即，
令，则，
所以，
所以，
不妨设，
则，，因此随增大而增大，
所以．

19.解：设圆心，
点在与切线垂直且过切点的直线：上，
所以，
即，
所以，半径，
圆的方程为：．
设，直线方程为：，
联立得，
，，
直线方程为：，直线方程为：，
联立，
可得
点在直线上．
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