2024-2025学年福建省厦门市同安一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市同安一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若和都为基底，则不可以为( )
A. B. C. D.
3.若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在棱长为的正方体中，，分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.集合，集合，从，中各任意取一个数相加为，则直线：与直线：平行的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 存在点，使得与所成的角为
8.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线，其方程均可写为
D. 已知，，若直线：与线段有公共点，则
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B. 若空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D. 若空间向量，，则在上的投影向量为
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体若图中每个正方体的棱长为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点到直线的距离是
C. D. 异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______．
13.在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，______．
14.如图，正四棱锥的棱长均为，点为侧棱的中点．若点，分别为直线，上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱锥中，，，为的中点，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
若边上的中线所在的直线方程为，求的值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
18.本小题分
在面积为的中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，求周长的最大值；
若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
求证：平面平面；
设．
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.证明：，为的中点，
，
又，且，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
解：在中，，，
，，
由知平面，
平面，，
又为的中点，则垂直平分，，
，
又，，即，
又，，平面，
平面，
以为坐标原点，分别以、、所在方向为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设点到平面的距离，
则．
16.解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为，
又因为，所以直线的方程为，即．
解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为，
点在直线上，所以，得，即，
又点在直线上，所以，解得．
17.解：证明：由题意可以为原点，，和分别为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，且，，
所以，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，得，
所以，即，所以平面．
由得，，平面的一个法向量为，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，得，
设二面角的大小为，，
则，
所以二面角的正弦值为．
18.解：由，
可得，即有，
由三角形的面积公式，可得，即，
由余弦定理可得，
由，可得；
若，则，
即有当且仅当时，取得等号，则的周长的最大值为；
由，设，，
由边上的高为，可得，即有，，
则，
由，可得，
则的取值范围是
19.解：在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因为，则，，
所以，，
设平面的法向量为，由，，
得，
可取，
设直线与平面所成角为，
则，，
即，
化简得：，
解得或，
即或．
如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，
即，
亦即，
因为，所以方程无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上．
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