2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.1 向量概念（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第9章　平面向量
9.1　向量概念
基础过关练
题组一　向量的相关概念及几何表示
1.给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是(　　)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.(多选题)(2024江苏无锡江阴学情调研)下列说法错误的是(　　)
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C.0的方向是任意的
D.任一非零向量都可以平行移动
3.(2023陕西咸阳阶段练习)如图,某人从A点出发,向西走了200 m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的方向行走了200 m到达C点,最后又改变方向,向东走了200 m到达D点,发现D点在B点的正北方.以A为原点建立平面直角坐标系,图中1个单位长度表示100 m.
(1)作出向量;
(2)求向量的模.
题组二　相等向量与平行向量
4.(2024广东北京师范大学东莞石竹附属学校开学考试)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是(　　)
A.
C.共线
5.(2024江苏南京金陵中学学情调研)下列说法中,错误的是(　　)
A.若是共线向量,则A,B,C三点共线
B.是平行向量
C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.“a∥b”是“a=b”的充分条件
6.(2023河南开封期中)如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向量有(　　)
A.6个　　B.7个　　C.8个　　D.9个
7.(2024辽宁抚顺望花开学考)若||,且,则四边形ABCD为(　　)
A.平行四边形　　B.矩形 C.菱形　　D.等腰梯形
8.(2023云南昆明西山期中)中国象棋中规定马走“日”,象走“田”.如图,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,则可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量表示马走了“一步”.若马在B或C处,则以B,C为起点且表示马走了“一步”的不同向量共有　　　　个.
9.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,分别写出图中给出的长度为的所有向量中,满足下列条件的向量.
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量共线的向量;
(3)向量的相反向量.
题组三　向量的夹角
10.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,则向量的夹角为(　　)
A.
11.(2024江苏南通中学期末)如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点或终点作向量.
(1)向量的夹角是多少
(2)与向量垂直的向量有哪些
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D
2.AB　两个有共同起点的单位向量,其终点在半径为1的圆上,不一定相同,故A中说法错误;向量是既有大小又有方向的量,而直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向没有大小,故B中说法错误;易知C,D中说法正确.故选AB.
3.解析　(1)根据题意可知,B点的坐标为(-2,0),
过点B作x轴的垂线,因为D点在B点的正北方,所以D在过点B的x轴的垂线上,又因为D点在C点的正东方,所以CD⊥BD,又| m,所以||=200 m,故D,C两点在坐标系中的坐标分别为(-2,2),(-4,2),由此可作出向量,如图所示.
(2)如图,作出向量,
由题意可知,CD∥AB且CD=AB,
所以四边形ABCD是平行四边形,
则| m.
4.B　如图所示,
因为方向相同,长度相等,所以,故A中结论正确;
因为方向不同,所以,故B中结论错误;
因为B,O,D三点共线,所以,故C中结论正确;
因为AB∥CD,所以共线,故D中结论正确.
故选B.
5.D　对于A,由题知,又AB与AC有公共点A,故A,B,C三点共线,故A中说法正确;
对于B,是相反向量,所以是平行向量,故B中说法正确;
对于C,根据零向量与任一向量共线得C中说法正确;
对于D,当a∥b时,a,b不一定相等,如零向量与任一向量平行,故充分性不成立,故D中说法错误.故选D.
6.D　与,共9个,故选D.
7.C　∵,∴四边形ABCD为平行四边形,
又∵||,∴平行四边形ABCD为菱形.
8.答案　8
解析　如图,在B处时可用向量表示马走了“一步”,共3个;在C处时可用向量表示马走了“一步”,共8个,但是,所以以B,C为起点且表示马走了“一步”的不同向量共有8个.
9.解析　(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有.
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有.
(3)向量的相反向量,即与大小相等,方向相反的向量,有.
10.B　∵AB=AC,∠BAC=,∴∠ABC=∠ACB=,则向量的夹角为π-∠ABC=.
故选B.
11.解析　(1)因为以O为圆心,1为半径的圆上的8个等分点分别为A,B,C,D,E,F,G,H,
所以弧DE所对的圆心角是=45°,即∠DOE=45°,
所以的夹角为45°.
(2)如图,BF是圆O的直径,OD⊥BF,CE∥BF∥AG,
所以与向量.
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