2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.2.1 向量的加减法（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学必修第二册
9.2　向量运算
9.2.1　向量的加减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算
1.(2024江苏盐城五校联盟第一次学情调研)化简:等于(　　)
A.
2.(多选题)(2024广东珠海北大附属实验学校月考)已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(　　)
A.=0
C.
3.(2024重庆第八中学阶段测试)如图,在正六边形ABCDEF中,=　　　　.
4.(2024河南洛阳强基联盟联考)若P为△ABC的外心,且,则△ABC的内角C等于　　　.
5.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
6.(2024江苏常州第一中学阶段质量调研)如图,已知D,E,F分别为△ABC的边BC,AC,AB的中点.求证:=0.
题组二　向量的减法运算
7.(2024重庆南开中学月考)下列各式中不一定能化简为的是(　　)
A.
C.)
8.(2022江苏苏州吴江中学期中)八卦是中国古老文化的深奥概念,其深邃的哲理解释了很多自然、社会现象.图1所示的是八卦模型图,其外轮廓可看成图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则=(　　)
A.
9.(2024江苏南京河西外国语学校月考)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,各小正方形的边长相等,那么向量a-b与b的夹角为　(　　)
A.45°　　B.60° C.90°　　D.135°
10.(2024浙江四校联考)已知四边形ABCD,O为平面内任意一点,若=0,则(　　)
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
11.如图,已知五边形ABCDE中,=a,=b,=c,=d,=e.
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
题组三　向量和与差的模
12.(2024江苏泰州兴化文正实验学校月考)已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.5
13.(2024江苏无锡第一中学质量检测)若平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=(　　)
A.2　　B.5
C.2或5　　D.或5
14.(2024湖南长沙第一中学开学自主检测)已知边长为2的正三角形ABC的中心为O,正方形MNPQ的边长为,且线段MP与NQ相交于点O,则||=　　　　.
15.(2023山东济南外国语学校阶段练习)如图,各小正方形的边长相等,按下列要求作答.
(1)以A为始点,作出向量a+b;
(2)以B为始点,作出向量c+d+e;
(3)若a为单位向量,求|a+b|,|c+d|和|c+d+e|.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　.故选C.
2.ABC　,故A正确;=0,故B正确;因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,所以DE AF,所以四边形ADEF为平行四边形,所以,故C正确;因为F为CA的中点,所以,所以,故D错误.故选ABC.
3.答案　0
解析　结合正六边形的性质,得=0.
4.答案　120°
解析　由,得四边形PACB是平行四边形,
根据题意画出图形如下,
由点P是△ABC的外心,得PA=PB=PC,则 PACB是菱形,
因此△APC,△BPC都是正三角形,则∠ACP=∠BCP=60°,所以∠ACB=∠ACP+∠BCP=120°.
5.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7==b6=-b2.
6.证明　连接EF,易得,
∴=0.
7.B　对于A,,故A不符合题意;
对于B,,只有当B,Q重合时,才成立,故B符合题意;
对于C,,故C不符合题意;
对于D,(,故D不符合题意.
故选B.
8.B　由题图可得.故选B.
9.D　设=a,=b,则=a-b,如图所示,
设各小正方形的边长为1,则|,所以|2,
所以三角形OAB是等腰直角三角形,则∠OBA=45°,
由图可知,向量a-b与b的夹角为∠OBA的补角,即为135°.故选D.
10.D　因为=0,
所以=0,即,
所以ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形,
没有足够条件判断平行四边形ABCD是不是矩形、菱形或正方形,故A,B,C错误,D正确.故选D.
11.解析　(1)=d+e+a.
(2)=-b-c.
(3)=e+a+b.
(4))=-c-d.
12.C　当a,b同向时,|a-b|=2-1=1;
当a,b反向时,|a-b|=2+1=3;
当a,b不共线时,根据三角形的三边关系可知1<|a-b|<3.
综上所述,|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.故选C.
13.C　由平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,得它们两两之间的夹角为0或.
当它们两两之间的夹角为0时,显然有|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+1+3=5;
当它们两两之间的夹角为时,过平面上任一点O作=a,=b,=c,令,如图所示,则四边形OADB为菱形,||=1,且向量方向相反,又|c|=3,所以|a+b+c|=||=3-1=2.
综上所述,|a+b+c|=2或5.
故选C.
14.答案　2
解析　取BC的中点D,连接OB,OC,AD,则点O在AD上,如图所示,
因为O为正三角形ABC的中心,正三角形的中心也是重心,所以有=0,又正三角形ABC的边长为2,故OA=AB=2.
因为在正方形MNPQ中,MP与NQ相交于点O,所以O是MP的中点,所以=0,
则,
所以||=2.
15.解析　(1)将a,b的起点同时平移到A点,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b,如图所示.
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,得出c+d,再将向量e的起点与c+d的终点相接,利用向量加法的三角形法则即可作出c+d+e,如图所示.
(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量结合勾股定理可知,|a+b|=.
由题图可知|c+d|=|-c|=|c|=1.
利用上图中所示的向量和勾股定理可知|c+d+e|=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)