2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.2.2 向量的数乘（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.2.2　向量的数乘
基础过关练
题组一　向量的数乘运算
1.(2024辽宁锦州期末)“实数λ=0”是“λa=0”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024浙江台州阶段练习)下列结论中正确的是　(　　)
A.若|b|=2|a|,则b=±2a
B.若b=±2a,则|b|=2|a|
C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b
D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n
3.(2024江苏淮安淮阴中学阶段性测试)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,能使一定成立的是(　　)
A.a=-2b　　B.a∥b
C.a=2b　　D.|a|=|b|
4.(2024江苏常州联盟学校阶段调研)若,设,则λ的值为　　　　.
题组二　向量的线性运算
5.(2023安徽淮北师范大学附属实验中学阶段练习)下列运算不正确的是(　　)
A.-3·2a=-6a
B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0
D.2(3a-b)=6a-2b
6.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)已知在△ABC中,D为BC边上一点,且BD=BC,则=(　　)
A.
C.
7.(2023江苏南通期末)设G为△ABC的重心,则=(　　)
A.0　　B.
8.(2024江苏盐城五校联盟第一次学情调研)如图所示,四边形ABCD是正方形,M,N分别为BC,DC的中点,若,λ,μ∈R,则2λ-μ的值为(　　)
A.
9.(2024广东惠州惠阳第一中学开学摸底)化简:=　　　　.
10.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示.
11.(2022江苏扬州中学开学考试)已知△ABO中,延长BA到C,使AC=BA,D是OB上靠近点B的一个三等分点,DC与OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)若,求实数λ的值.
题组三　向量共线定理及其应用
12.(多选题)(2024山东泰安开学考试)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　)
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
13.(2022北京中国科学院附属实验学校月考)在△ABC中,点P满足,则(　　)
A.点P不在直线BC上　　
B.点P在CB的延长线上
C.点P在线段BC上　　
D.点P在BC的延长线上
14.(2023江苏南通如东一中等三校联考)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为(　　)
A.1　　B.-
C.1或-　　D.-1或-
15.(2024山东滨州北镇中学开学考试)已知a和b是两个不共线的向量,若=a+mb,=5a+4b,=-a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m的值为(　　)
A.　　D.-1
16.(2024河南郑州高新二中质检)在 ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,F是BE的中点,若,则x=(　　)
A.
17.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)设e1,e2是两个不共线的向量.
(1)若向量m=-e1+ke2与向量n=ke1-4e2共线,求实数k的值;
(2)若=4e1+e2,=-2e1+3e2,=e1+2e2,求证:A,B,C三点共线.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(2022江苏常州高考模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,,则=(　　)
A.a+b　　B.a+b C.a+b　　D.a+b
2.(多选题)(2022江苏无锡江阴一中阶段练习)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,,则下列关系中正确的是(　　)
A.
C.
3.(2024江苏南京金陵中学学情调研)P是△ABC所在平面上一点,满足||=0,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形　　B.直角三角形
C.等腰三角形　　D.等边三角形
4.(多选题)(2024江苏扬州高邮学情调研)已知三角形ABC满足AB=3,AC=4,则下列结论正确的是(　　)
A.若点O为△ABC的重心,则
B.若点O为△ABC的重心,则=0
C.若点O为△ABC的垂心,则
D.若点O为△ABC的内心,则,λ>0
5.(2024江苏南京一中月考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,设=a,=b.
(1)设P为线段AB上靠近点A的三等分点,(λ∈R),求λ的值;
(2)如图所示,设P1,P2,P3,…,Pn-1是线段AB的n等分点,其中n∈N*,n≥2,则当n=2 024时,用a,b表示+…+.
题组二　向量共线定理的应用
6.(2024北京顺义第九中学月考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,图中各小正方形的边长相等.若向量λa+b与c共线,则实数λ=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
7.(多选题)(2023山东泰安阶段练习)已知P为△ABC所在平面内一点,且=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
8.(2022江苏扬州中学开学考试)如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,,BN与CM相交于点E,若,则λ,μ满足　(　　)
A.λ+μ==2
C.λ-μ=
9.(2023浙江金华东阳外国语学校、东阳中学月考)已知O是△ABC内的一点,若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为S1,S2,S3,则S1·+S2·+S3·=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似,故称其为“奔驰定理”.如图,已知O是△ABC的垂心,且=0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=(　　)
A.1∶2∶3　　B.1∶2∶4
C.2∶3∶4　　D.2∶3∶6
10.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)如图,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE,CD交于点P,则△APC的面积为　　　　cm2.
11.(2024江西宜春中学月考)如图所示,在△ABC中,D为BC边上一点,且.过D点的直线EF与直线AB相交于E点,与直线AC相交于F点(E,F两点不重合).
(1)用;
(2)若,求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　当λ=0时,λa=0显然成立;
当λa=0时,λ=0或a=0.
所以“实数λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件,故选A.
2.B　对于A,当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故A错误;
对于B,因为b=±2a,所以|b|=2|a|,故B正确;
对于C,若m=0,则ma=mb=0,不一定有a=b,故C错误;
对于D,若a=0,则ma=na,不一定有m=n,故D错误.
故选B.
3.C　由,得a,b同向.
对于A,由a=-2b,得a,b方向相反,故A错误;
对于B,由a∥b,得a,b共线,不能得出方向相同的结论,故B错误;
对于C,由a=2b,得a,b方向相同,故C正确;
对于D,由|a|=|b|不能确定a,b的方向相同,故D错误.
故选C.
4.答案　2
解析　因为,所以,
则,
又因为,所以λ=2.
5.C　(a+2b)-(2b+a)=0.故选C.
方法技巧　向量的数乘运算可类比代数多项式的运算,例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,只是这里的“同类项”“公因式”均指向量,而实数可看作向量的系数.
6.A　在△ABC中,,又BD=BC,所以),
所以.故选A.
7.B　因为G为△ABC的重心,所以=0,
所以,
故选B.
8.D　,
所以,所以,
又,所以λ=,
则2λ-μ=.故选D.
9.答案　a-b
解析　
=
=a-b.
解题模板　准确进行向量的线性运算的关键是把握运算顺序,先根据数乘运算满足的运算律去括号,再进行加减运算.
10.解析　解法一:因为在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,所以a,
=-a+b+a=-a+b,
a-b+a=a-b.
解法二:如图所示,连接CN.由题可知四边形ANCD是平行四边形.
则a,
=b-a,
a-b.
11.解析　(1)由题意知A是BC的中点,则,所以=2a-b,
易知,
则=2a-b-b=2a-b.
(2)因为=2a-b-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,且,
所以,解得λ=.
12.ABC　对于A,易得b=-a,即a∥b,故A符合题意;
对于B,易得b=-2a,即a∥b,故B符合题意;
对于C,因为a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,所以b=-a,故C符合题意;
对于D,因为a=e1-e2,b=e1+e2+(e1+e2),所以只有当e1与e2中至少有一个为0时,才能得到a∥b,故D不符合题意.故选ABC.
13.B　∵,即,∴B,P,C三点共线,且点P在CB的延长线上.
故选B.
14.B　因为c与d反向共线,所以c=kd(k∈R,k<0),
即λa+b=k[a+(2λ-1)b]=ka+k(2λ-1)b,
因为a,b不共线,
所以解得λ=1或λ=-,
因为λ=k且k<0,所以λ=-.故选B.
易错警示　在利用向量共线定理求参数问题中,要注意两向量的方向,如本题中两向量方向相反,需对参数值进行检验,把两向量方向相同的情况舍去.
15.B　由已知得,=5a+4b+a+2b=6a+6b.
因为A,B,D三点共线,
所以存在实数λ,使得,即a+mb=λ(6a+6b),则解得m=1.故选B.
16.C　由题可知),
∵F是BE的中点,∴.故选C.
17.解析　(1)因为m=-e1+ke2与n=ke1-4e2共线,
所以存在实数λ,使得m=λn,即-e1+ke2=λ(ke1-4e2)=λke1-4λe2,又e1,e2是两个不共线的向量,所以则k=±2.
(2)证明:因为=4e1+e2,=-2e1+3e2,=e1+2e2,
所以=-2e1+3e2-(4e1+e2)=-6e1+2e2=2(-3e1+e2),=e1+2e2-(4e1+e2)=-3e1+e2,
所以,所以,
又AB与AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.
方法技巧　三点共线的证明问题及求解思路
1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,向量共线定理是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量在同一直线上,因此必定存在某个实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.
能力提升练
1.B　因为“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成,且=a,=b,,
所以,
则a+b.故选B.
2.AC　在A中,,故A正确;在B中,,故B错误;在C中,,故C正确;在D中,,若,则=0,不符合题意,故D错误.故选AC.
3.B　以△ABC的两边AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由||=0,可得||,即平行四边形ABDC的两条对角线的长度相等,所以平行四边形ABDC为矩形,即AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形,无法判断AB=AC是否成立,故选B.
4.ABD　对于A,B,取边BC的中点D,连接AD(图略),当点O为△ABC的重心时,有,同理,,所以=0,故A,B正确;
对于C,当B=时,B为△ABC的垂心,即B,O重合,此时,而不共线,故C错误;
对于D,若点O为△ABC的内心,则点O在∠BAC的平分线上,则,λ>0,故D正确.故选ABD.
知识拓展　(1)若P为△ABC的内心,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则a=0;
(2)若P是△ABC的重心,则=0;
(3)若P是△ABC的垂心,则tan A·+tan B·+tan C·=0;
(4)若P是△ABC的外心,则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0.
5.解析　(1)由题意得,
又P为线段AB上靠近点A的三等分点,
所以,可得λ-1=-,所以λ=.
因为A,P1,P2,P3,…,P2 023,B中任意相邻两点间的距离相等,所以当n=2 024时,线段AB的中点为P1 012,则P1 012也是线段P1P2 023,
P2P2 022,…,P1 011P1 013的中点,
所以=a+b,
同理可得,=…==a+b,
则+…+
=()+…+(
=(a+b).
6.D　根据题图中a,b,c的大小与方向,可得c=2a+b,
因为向量λa+b与c共线,所以存在实数t,使得λa+b=tc,即λa+b=t(2a+b),所以解得λ=2.故选D.
7.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点,
所以,
又=0,即()=0,
所以2=0,即,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确;
易知EF为△ABC的中位线,且P,A,C三点不共线,则向量不可能平行,故A错误.故选CD.
8.B　
思路分析　
解析　由,得,
因为M是AB的中点,所以,
由N,E,B三点共线知,存在实数m,满足,
由C,E,M三点共线知,存在实数n,满足,
(两次利用三点共线的相关结论构造向量的表示式)
所以,
又因为不共线,
所以
所以,故λ=.
所以λ+μ=,故A不正确;=2,故B正确,D不正确;λ-μ=,故C不正确.故选B.
9.A　延长CO,BO,AO分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图,
因为O是△ABC的垂心,所以CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,所以
∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC,
所以,
同理,
故tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3,
由“奔驰定理”得S1·+S2·+S3·=0,
又=0,所以S1∶S2∶S3=1∶2∶3,
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
故选A.
奇思妙解　由O为△ABC的垂心可得tan∠BAC·+
tan∠ABC·+tan∠ACB·=0,由“奔驰定理”得S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB,再结合已知条件=0,可推出tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
10.答案　4
思路点拨　设=a,=b,利用A,P,E三点共线及D,P,C三点共线分别表示出,根据建立二元一次方程组,求得相应参数,再采用间接法,根据S△APC=S△ABC-S△ABP-S△CBP求解.
解析　设=a,=b.
∵AD∶DB=BE∶EC=2∶1,∴a,b,则=a+b,a+b.
∵A,P,E三点共线,D,P,C三点共线,
∴存在实数λ,μ,使=λa+λb,μa+μb.
又a+μb,
∴,
∴S△PAB=S△ABC=×14=8(cm2),S△PBC=S△ABC=×14=2(cm2),∴S△APC=14-8-2=4(cm2).　
11.解析　(1)在△ABD中,,
因为,所以,
所以)
=.
(2)依题意知λ>0,μ>0,因为,
所以,
又因为,所以,
又D,E,F三点共线,且A在这三点所确定的直线外,所以=1,
所以λ+2μ=(λ+2μ)·=3,
当且仅当=1,即λ=μ=1时取等号.
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