2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.2.3 向量的数量积（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.2.3　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积和运算律
1.(2023江苏扬州中学开学考试)关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
A.若a·c=b·c,则a=b
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a2=b2,则a·c=b·c
D.(a·b)·c=(b·c)·a
2.(2024河北张家口张北成龙高级中学阶段测试)在△ABC中,||=25,则=(　　)
A.49　　B.0　　C.576　　D.168
3.(2024江苏常州联盟学校阶段调研)圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.现有一个圆形如图,其圆心为O,A,B是圆O上的两点,若||=2,则=　　　　.
题组二　投影向量
4.(2024江苏南通海安实验中学学情检测)已知a,b均为单位向量.若|a-b|=1,则a在b上的投影向量为(　　)
A.a　　B.a　　C.b　　D.b
5.(2024山东省实验中学第一次阶段测试)已知a,b是夹角为120°的两个单位向量,若向量a-λb在向量a上的投影向量为2a,则λ=(　　)
A.-2　　B.2　　C.-
题组三　向量的模和夹角
6.(多选题)(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,且a=e1-2e2,b=e1+e2,则(　　)
A.|a|=
B.a·b=-
C.a与b的夹角为
D.|a+b|=
7.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)在平行四边形ABCD中,
∠BAD=,AB=2,F为CD的中点,,且,则||=(　　)
A.3　　B.4　　C.6　　D.8
8.(2024江苏无锡第一中学阶段性质量检测)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i+2j,b=3i-(λ-4)j,且a与a+b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　B.(0,10)∪(10,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,8)　　D.(-∞,0)
9.(2024江苏连云港灌南惠泽高级中学月考)已知向量a与b的夹角是120°,|a|=3,|a+b|=,则|b|=　　　　.
题组四　向量的垂直
10.(2024江苏南京金陵中学学情调研)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)
A.a+2b　　B.2a+b
C.a-2b　　D.2a-b
11.(2024天津静海第一中学学业能力调研)已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ的值为(　　)
A.±　　D.1
能力提升练
题组一　向量的模与夹角
1.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有两个相等的实数根,则向量a与b的夹角θ是(　　)
A.
2.(2024重庆部分学校月考)在△ABC中,,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.三边均不相等的三角形
C.等边三角形
D.等腰(非等边)三角形
3.(2024陕西咸阳实验中学月考)已知平面向量a,b,|a|=2,当|a-tb|最小时,t|b|=,则a,b的夹角为(　　)
A.90°　　B.60°　　C.45°　　D.30°
4.(2022江苏盐城期末)在△ABC中,||=2,∠BAC=120°,点M满足,λ+2μ=1,则||的最小值为(　　)
A.　　C.2　　D.1
5.(多选题)(2023浙江高中联盟期中)设e1,e2均为单位向量,若对任意的实数t,≤|e1+te2|恒成立,则(　　)
A.e1与e2的夹角为
B.
C.|e2-te1|的最小值为
D.|e2+t(e1-e2)|的最小值为
6.(2024江苏南京一中月考)如图,在平行四边形ABCD中,已知
∠BAD=60°,|.
(1)若,求m,n的值和向量的模;
(2)求的夹角的余弦值.
题组二　向量的数量积及其综合应用
7.(多选题)(2022江苏苏州吴江期中)△ABC是边长为3的等边三角形,已知向量a,b满足=3a,=3a+b,则下列结论中正确的有(　　)
A.a为单位向量　　B.b∥
C.a⊥b　　D.(6a+b)⊥
8.(2024江苏南京金陵中学学情调研)青花瓷,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋时期就已出现,而成熟的青花瓷出现在元代景德镇的湖田窑.图1是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,其示意图如图2所示.已知图2中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且始终关于圆心O对称,则的取值范围是　　　　.
9.(2024江苏常州二中月考)设a,b,c均是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为　　　　.
10.(2022四川遂宁期中)数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》中首次指出:△ABC的外心O,重心G,垂心H依次在同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,该直线被称为欧拉线,该结论被称为欧拉线定理.若△ABC中,AB=4,AC=2,则下列各式中正确的序号是　　　　.
①2=4;
③.
11.(2022江苏苏州第一中学阶段测试)如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知D是AB上一点,满足,E是CB上一点,满足.
①当λ=时,求;
②是否存在非零实数λ,使得 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　
2.A　由已知得||2,所以∠ABC=90°,
因为的夹角等于∠BCA,
所以|·||·||·
cos∠BCA=25×7×=49,故选A.
3.答案　2
解析　依题意知,||,
则|=2×1=2.
4.D　由|a-b|=1,可得a2-2a·b+b2=1,所以a·b=,
则a在b上的投影向量为·b=b.故选D.
5.B　由已知得a·b=|a||b|cos 120°=-,
因为向量a-λb在向量a上的投影向量为·a=2a,所以=2,
即=2,解得λ=2.故选B.
6.AB　由已知得e1·e2=|e1||e2|cos .
对于A,|a|=,故A正确;
对于B,a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2,故B正确;
对于C,|b|==1,
所以cos=≠-,故C错误;
对于D,|a+b|=|2e1-e2|=,故D错误.
故选AB.
7.B　)·()
=
=|·||cos |2
=,
即2||-4)=0,
故||=4.
故选B.
8.C　因为i,j为互相垂直的单位向量,所以i·j=0,|i|=|j|=1.
a·(a+b)=(i+2j)·[4i+(6-λ)j]=4i2+2(6-λ)j2=16-2λ.
|a|2=(i+2j)2=i2+4j2=5,则|a|=.
|a+b|2=[4i+(6-λ)j]2=16i2+(6-λ)2j2=(λ-6)2+16,则|a+b|=.
所以cos=>0,解得λ<8.
当=1时,λ=-2,此时a与a+b的夹角为0,不为锐角.
综上,实数λ的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,8).
故选C.
易错警示　两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在解题时应注意排除向量a,b共线的情况.
9.答案　4
解析　因为|a+b|=,|a|=3,向量a与b的夹角是120°,
所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2|a||b|cos 120°+|b|2=13,
即|b|2-3|b|-4=0,解得|b|=4或|b|=-1(舍去).
10.D　由已知得a·b=|a||b|cos 60°=1×1×.
对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,故A错误;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,故B错误;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=≠0,故C错误;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,故D正确.故选D.
11.C　∵a⊥b,∴a·b=0,
∵3a+2b与λa-b垂直,∴(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=12λ-18=0,
解得λ=.故选C.
能力提升练
1.B　由题意可得|a|2-4a·b=0,
即4|a||b|cos θ=|a|2,∴cos θ=,
又0≤θ≤π,∴θ=,
故向量a与b的夹角θ是.故选B.
2.D　因为=0,所以=0,所以·()=0,所以()·()=0,所以,即BC=BA.
又=1×1×(-cos B)=,所以cos B=-,所以B=,所以△ABC为等腰(非等边)三角形.故选D.
3.D　设a,b的夹角为θ,则|a-tb|2=|a|2+t2|b|2-2ta·b=t2|b|2-4|b|tcos θ+4,
结合二次函数的性质可知,当且仅当t=时,|a-tb|2取得最小值,即|a-tb|取得最小值,
将t=代入t|b|=,得cos θ=,因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°.故选D.
4.A　由题得|·||cos∠BAC=-2,
∵,λ+2μ=1,
∴|=4λ2+4μ2-4λμ=4(1-2μ)2+4μ2-4(1-2μ)μ=28μ2-20μ+4,
则当μ=时,
.故选A.
5.BD　设e1,e2的夹角为θ,将≤|e1+te2|两边分别平方得+|e1|·|e2|cos θ≤+2t|e1||e2|cos θ,即+cos θ≤t2+2tcos θ+1,
故t2+2tcos θ--cos θ≥0对任意的实数t都成立,
则Δ=4cos2θ+4cos θ+1≤0,即(2cos θ+1)2≤0,
则cos θ=-,又θ∈[0,π],故θ=π,故A错误;
,故B正确;
|e2-te1|=
=,当且仅当t=-时取等号,故C错误;
|e2+t(e1-e2)|=
=,当且仅当t=时取等号,故D正确.
故选BD.
6.解析　(1))
=,
所以m=-.
|
=
=
=.
(2)易得,
则cos<
=
=
=.
7.ABD　对于A,∵=3a,∴a=,则|a|=|=1,故A正确;
对于B,∵=3a+b=+b,∴b=,∴b∥,故B正确;
对于C,a·b=≠0,
∴a与b不垂直,故C错误;
对于D,(6a+b)·)·(=0,∴(6a+b)⊥,故D正确.故选ABD.
8.答案　[2,3]
解析　连接AB,OM,如图所示,
因为A,B在圆O上运动且始终关于圆心O对称,所以.
易得)·()
=
=|·(|2-1.
由图可知,当点M位于正六边形各边的中点时,||取得最小值,为,此时||2-1=2;当点M位于正六边形的顶点时,||取得最大值,为2,此时||2-1=3,故2≤≤3,即的取值范围是[2,3].
9.答案　1-
解析　∵a·b=0,且a,b,c均为单位向量,
∴|a+b|=,且|c|=1,∴c2=1,
∴(a-c)·(b-c)=a·b-(a+b)·c+c2=1-(a+b)·c.
设a+b与c的夹角为θ,θ∈[0,π],
则(a-c)·(b-c)=1-|a+b||c|cos θ=1-cos θ.
又cos θ∈[-1,1],故(a-c)·(b-c)的最小值为1-.
10.答案　①③④
解析　对于①,由题意得,即2=0,故①正确;
对于②,设M为BC的中点,由G是△ABC的重心,可得),
所以)·()=-4,故②错误;
对于③,过△ABC的外心O作AB,AC的垂线,垂足分别为D,E,如图,
易知D,E分别是AB,AC的中点,
则·(
=||cos∠OAE-||cos∠OAD
=||2=-6,故③正确;
对于④,因为G为△ABC的重心,所以=0,
故,
由欧拉线定理可得,
所以,故④正确.
故答案为①③④.
解析　(1)易得=2×1×
cos 60°=1,
∴|
=.
(2)①当λ=时,,
∴D,E分别是AB,BC的中点,
∴),
∴)
=
=-×1×2×cos 120°+.
②存在.理由如下:
假设存在非零实数λ,使得.
由,得),
∴.
∵,
∴.
∴=
4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,解得λ=或λ=0(不合题意,舍去),
故存在非零实数λ=,使得.
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