2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.3.1 平面向量基本定理（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.3　向量基本定理及坐标表示
9.3.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　对平面向量基本定理的理解
1.(2024江苏盐城五校联盟第一次学情调研)若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为一组基底的是(　　)
A.a-b,b-a　　B.2a+b,a+b
C.2b-3a,6a-4b　　D.a+b,a-b
2.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学月考)如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是(　　)
A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2=0
B.平面α内任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内的任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2成立的实数λ1,λ2有无数对
3.(教材习题改编)已知a,b是平面内的一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y=　　　　.
4.(2023福建福州期中)已知e1与e2不共线,e1-2e2,λe1+e2是平面内的一组基底,则实数λ的取值范围是　　　　.
题组二　用基底表示向量
5.(2024安徽合肥中科大附中月考)已知,若用,则等于(　　)
A.
C.-
6.(2024江苏淮安淮阴中学阶段性测试)在△ABC中,M是边AC上靠近点A的三等分点,N是BC的中点,设=a,=b,以向量a,b为基底,则向量=(　　)
A.a+b　　B.a+b
C.a+b　　D.a+b
7.(2024重庆南开中学阶段测试)在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b表示;
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.
　　
题组三　平面向量基本定理的应用
8.(2023江苏南京宁海中学检测)已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=-3e1+7e2,=2e1-3e2,那么A,B,C,D四点(　　)
A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
9.(2024江苏连云港赣榆第一中学月考)在如图所示的矩形ABCD中,E,F满足,G为EF的中点,若,则λμ的值为(　　)
A.　　D.2
10.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)在锐角△ABC中,AD为BC边上的高,tan C=2tan B,,则x-y的值为(　　)
A.-
11.(2023江西南昌期中)如图,平面内有三个向量的夹角为120°,的夹角为150°,|,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.　　D.9
12.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点.
(1)用;
(2)求;
(3)设,求xy的取值范围.
能力提升练
题组　平面向量基本定理的应用
1.(2023江苏苏州外国语学校阶段测试)已知e1,e2为平面内的一组基底,a=e1+me2,b=me1+e2,其中m∈R,则“a∥b”是“幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,P是BC边的中点,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别是a,b,c,若c=0,则△ABC为(　　)
A.直角三角形　　B.钝角三角形
C.等边三角形　　D.等腰三角形
3.(2024浙江四校联考)已知六边形ABCDEF为正六边形,且=a,=b,以下不正确的是(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
4.(多选题)(2024江苏南京江浦高级中学阶段性训练)如图所示,在△OAB中,,AD与BC交于点M.过点M的直线l与两边OA,OB分别交于点E,F,设,则(　　)
A.
B.=7
C.λ+μ=可能成立
D.
5.(2024江苏连云港灌南惠泽高级中学月考)如图,已知△ABC为等边三角形,点G是△ABC内一点.过点G的直线l与线段AB交于点D,与线段AC交于点E.设,且λ≠0,μ≠0.
(1)若,求;
(2)若点G是△ABC的重心.
(i)求的值;
(ii)求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　对于A,b-a=-(a-b),所以a-b与b-a共线,不能作为一组基底;
对于B,2a+b=2,所以2a+b与a+b共线,不能作为一组基底;
对于C,6a-4b=-2(2b-3a),所以2b-3a与6a-4b共线,不能作为一组基底;
对于D,易知a+b与a-b不共线,能作为一组基底.
故选D.
2.AB　对于A,因为e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,所以e1,e2不共线,
根据向量共线的充要条件可得,若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0成立,则λ1=λ2=0,故A正确;
对于B,C,D,根据平面向量基本定理,可知B正确,λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)一定在平面α内,对于平面α内的任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2成立的实数λ1,λ2有且只有一对,故C,D错误.
故选AB.
3.答案　3
解析　因为a,b是平面内的一组基底,所以a与b不共线,
由平面向量基本定理得
则x-y=3.
4.答案　
解析　若e1-2e2,λe1+e2共线,则存在实数t,使得λe1+e2=t(e1-2e2),此时λ=-,所以当λ≠-时,e1-2e2与λe1+e2不共线,可以构成一组基底,故实数λ的取值范围为.
C　因为,所以),整理得
.故选C.
6.A　根据题意画出图形,如图.
因为M是边AC上靠近点A的三等分点,N是BC的中点,所以a+b.故选A.
7.解析　(1)因为E,F分别是BC,DC的中点,
所以=b-a,
=a-b.
(2)因为O是AC与BD的交点,G是DO的中点,
所以),
所以a+b.
8.C　=(-3e1+7e2)+2(2e1-3e2)=e1+e2=,
由平面向量基本定理可知,A,B,C,D四点共面.故选C.
9.A　因为,G为EF的中点,
所以)
=,
所以λ=,所以λμ=.故选A.
10.C　由题图可知,tan C=,tan B=,
又tan C=2tan B,
所以,所以BD=2DC,则,
所以,
又,所以x=,则x-y=-.故选C.
11.B　延长BO至点B',使OB'=OB,再以OB'为对角线作 ODB'E,其中OE在直线OA上,如图,
因为<>=150°,四边形ODB'E为平行四边形,
所以∠EOB'=∠OB'D=60°,∠DOB'=90°,
所以||tan 60°=|=2,
所以,
所以,
即,
又不共线,
所以λ=-6,μ=-3,所以λ+μ=-9.故选B.
12.解析　(1)由向量的线性运算法则可得,②,
因为M为线段BC的中点,所以,
又AB∥DC,且AB=2CD,所以,
联立①②,得2,
则.
(2)由题知A,N,M三点共线,所以存在实数t,使得,
又B,D,N三点共线,故=1,解得t=.
所以,即=4.
(3)由题意,可设,
则)
=(x+ym).
又不共线,
所以由平面向量基本定理可知
解得
因为0≤m≤,所以1≤y≤,
易知xy=(y-1)y=y2-y=上单调递增,
则当y=1时,xy取得最小值,且(xy)min=0,
当y=时,xy取得最大值,且(xy)max=,
所以xy的取值范围为.
能力提升练
1.B　若a∥b,则存在实数λ,使得a=λb,即e1+me2=mλe1+λe2,则所以m=±1.
若幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,则m2+m-1=1且m>0,所以m=1.
所以“a∥b”是“幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上单调递增”的必要不充分条件.
故选B.
2.C　∵P是BC边的中点,
∴.
∵c=0,
∴c(-=0,
即(a-c)=0.
∵不共线,∴a-c=0且b-c=0,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.故选C.
3.C　如图所示,设AC∩BD=M.
因为六边形ABCDEF为正六边形,
所以∠ABC=∠BCD=120°,且△ABC≌△DCB.
又△ABC是等腰三角形,所以∠BAC=∠BCA=30°,
所以∠ACD=∠DBA=90°,
则CM=BM=AMsin 30°=AM,
所以a,a,
同理可得b,b.
a+b,故A不符合题意;
b+a,故B不符合题意;
a+b,故C符合题意;
a+b,故D不符合题意.
故选C.
4.ABD　对于A,由题知A,M,D三点共线,所以存在实数t,使得,则),
即,又,
所以,
又B,M,C三点共线,故4(1-t)+t=1,解得t=,
则,故A正确;
对于B,由,得,
由E,M,F三点共线,得=1,即=7,故B正确;
对于C,依题意知,0<λ≤1,0<μ≤1,
则λ+μ=,
当且仅当,即μ=λ时取等号,而,因此λ+μ=不可能成立,故C错误;
对于D,=λμ,显然7=≥2,即λμ≥,
当且仅当μ=3λ=时取等号,因此,故D正确.
故选ABD.
5.解析　(1)如图所示,延长AG,交BC于点F,
设,m∈R,则,
因为B,F,C三点共线,所以=1,解得m=,
故,即,
即,所以,
又,所以,所以.
(2)(i)如图所示,连接AG并延长,交BC于点P,
若点G是△ABC的重心,则P为BC的中点,所以),
所以,
因为D,G,E三点共线,所以=1,则=3.
(ii)易知0<λ≤1,0<μ≤1.由(i)及基本不等式得,
λ+2μ=,
当且仅当时,等号成立,
所以λ+2μ的最小值为.
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