2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.3.2 向量坐标表示与运算（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.3.2　向量坐标表示与运算
基础过关练
题组一　向量的坐标表示
1.下列说法中,正确说法的个数是(　　)
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量的坐标是唯一的;
③向量的坐标即为此向量终点的坐标;
④位置不同的向量,其坐标可能相同.
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.(2024江苏常州二中月考)若=(3,4),A(-2,-1),则B点的坐标为(　　)
A.(1,3)　　B.(5,5)　　
C.(1,5)　　D.(5,4)
3.(2023河北衡水武强中学阶段练习)小顾同学在用向量法研究三角形的面积问题时得到如下结论:若=(x2,y2),则S△OAB=|x1y2-x2y1|.试用上述结论解决问题:若A(1,1),B(2,3),C(4,5),则S△ABC=　　　　.
题组二　向量加、减运算的坐标表示
4.(2024江苏连云港灌南惠泽高级中学月考)已知向量a=(2,4),a+b=(3,2),则b=(　　)
A.(1,-2)　　B.(1,2)
C.(5,6)　　D.(2,0)
5.(2024四川绵阳南山中学实验学校期中)已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量=(　　)
A.(-2,2)　　B.(-1,0)
C.(3,-1)　　D.(4,-1)
6.(2023重庆辅仁中学第一次质量检测)已知点O(0,0),A(1,2).
(1)若点B(3t,3t),,则实数t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P位于第二象限
(2)若B(4,5),P(1+3m,2+3m),则四边形OABP能成为平行四边形吗 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
题组三　向量数乘的坐标表示
7.(2024江苏南通质量监测)已知A(-1,-2),B(3,8),若,则点C的坐标为(　　)
A.(-1,3)　　B.(-1,2)　　C.(0,2)　　D.(1,3)
8.(2024天津滨海新区田家炳中学月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A. C.
9.(2024北京陈经纶中学开学检测)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,图中每个小正方形的边长均为1,若c=λa+μb,则λ+μ=(　　)
A.1　　B.-1　　C.3　　D.-3
10.(多选题)(2024山东邹城兖矿第一中学质量检测)已知O为坐标原点,向量=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则点P的坐标可能为(　　)
A.
11.(2024黑龙江哈尔滨香坊期中)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若(λ∈R),则当点P在第一、三象限的角平分线上时,λ的值为(　　)
A.1　　B.2　　
C.
题组四　向量数量积的坐标表示
12.(2022江苏无锡辅仁高级中学抽测)一物体在力F的作用下,由点A(20,15)移动到点B(7,0),已知F=(4,-5),则F对该物体所做的功为(　　)
A.-28　　B.-23　　C.23　　D.28
13.(2024重庆第八中学校月考)已知|=2,则=(　　)
A.-8　　B.8　　C.-6　　D.6
14.(2024江苏江浦高级中学阶段性训练)已知a=(1,2),b=(2,4-λ),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围为　　　　　　.
15.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)已知a=(3,-4),b=(1,2),则a在b方向上的投影向量是　　　　.(结果用坐标表示)
16.(2024福建福州外国语学校月考)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),θ为向量a,b的夹角.
(1)求cos θ的值;
(2)若|a-b|=|λa+b|,求实数λ的值.
题组五　向量垂直的坐标表示
17.(2024江苏无锡江阴两校阶段检测)设向量a=(2,-1),b=(1,-2),若(a+b)⊥(ka-b),则实数k的值为(　　)
A.-1　　B.0　　
C.1　　D.2
18.(多选题)(2024江苏常州联盟学校阶段调研)已知a=(t,1),b=(2,t),则下列说法正确的是　(　　)
A.|a|的最小值为1
B.若a⊥b,则t=0
C.若t=1,则与a垂直的单位向量只能为
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0)
19.已知向量3a+b=(-15,3k+4),b=(3,4),且a⊥b,则k=　　　　.
20.(2022江苏张家港塘桥高级中学期中)在△ABC中,||=2,点A(1,1).
(1)若C(2,0),且△ABC为直角三角形,求点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点B,C,满足=0 若存在,求出点B,C的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一　向量线性运算的坐标表示
1.(2024河南洛阳强基联盟联考)古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC⊥CD,若,则λ+μ=(　　)
A.-
2.(2023湖北仙桃田家炳高级中学期中)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在BC上,且满足(m,n均为正数),则的最小值为(　　)
A.1　　B.
3.(2024辽宁绥中第一高级中学期初)已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.
4.(2023江苏苏州期中)分别以直角三角形的三条边的长为边长作正方形,则以斜边长为边长作出的正方形的面积正好等于以两直角边的长为边长作出的正方形的面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得如图所示的图形,若(x,y∈R),则x-y=　　　　.
题组二　向量数量积的坐标表示及其应用
5.(2024福建福州外国语学校月考)定义向量a,b的向量积(又称向量的叉积或外积):|a×b|=|a|·|b|sin,其中表示向量a,b的夹角.已知点A(0,1),B(-1,),O为坐标原点,则||=(　　)
A.0.5　　B.-1　　C.0　　D.1
6.(2024北京朝阳质量检测)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点P在线段BC上.当取得最小值时,PA=(　　)
A.
7.(2023江苏南京大厂高级中学阶段练习)已知.若P是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值为(　　)
A.13　　B.5-2　　
C.5-2
(2023广东广州第七中学期中)如图,在△ABC中,已知AB=AC=1,
∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,且,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值为(　　)
A.
9.(2023江苏苏州阶段练习)已知A,B,C,D是平面内四点,且=(-2,1),则的最小值为　　　　.
10.(2024江苏无锡江阴两校阶段检测)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥DC,∠DAB=90°,AB=2,AD=CD=1,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD,则的值为　　　　.
11.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)已知向量a=(1,),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
12.(2022江苏无锡天一中学期中)已知平面直角坐标系中,点A(a,0),点B(0,b)(其中a,b为常数,且ab≠0),O为坐标原点,如图所示.设点P1,P2,P3,…,Pn-1是线段AB的n等分点,其中n∈N*,n≥2,当a=b=1,n=10时,求·()(1≤i≤n-1,1≤j≤n-1,i,j∈N*)的最小值.
说明:可能用到的计算公式为1+2+3+…+n=,n∈N*
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,只有以坐标原点为起点的向量,其坐标才是其终点的坐标,故③错误,易知①②④正确,故选C.
2.A　设B(x,y),则=(x+2,y+1)=(3,4),
所以所以B(1,3).故选A.
3.答案　1
解析　由题意得=(3,4),所以S△ABC=×|1×4-3×2|=1.
4.A　b=a+b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2),故选A.
5.A　设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1),
所以所以C(1,3),
又因为B(3,1),所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2).
故选A.
6.解析　(1)∵O(0,0),A(1,2),B(3t,3t),
∴=(3t,3t),
∴=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
若点P位于第二象限,则.
(2)由题意得=(3-3m,3-3m).
若四边形OABP为平行四边形,则,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
7.D　由已知得=(4,10),设C(x,y),则=(x+1,y+2),
因为,所以2(x+1)=4,2(y+2)=10,解得x=1,y=3,则C(1,3).故选D.
8.D　因为a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,
所以c=-(a-2b)=.
故选D.
9.C　建立如图所示的平面直角坐标系,
由图可得,a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),
由c=λa+μb,得(2,1)=(λ,λ)+(0,-μ),
∴2=λ,1=λ-μ,即λ=2,μ=1,则λ+μ=3.
故选C.
10.AC　因为=(6,-3),
所以=(4,-6),
因为P是线段AB的三等分点,所以,
所以,
故点P的坐标为.
故选AC.
11.D　设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).
∵=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ),
∴
∵点P在第一、三象限的角平分线上,
∴x=y,即5+5λ=4+7λ,解得λ=.
12.C　由题意可知,=(-13,-15),F=(4,-5),
则F对该物体所做的功为F·=4×(-13)+(-5)×(-15)=23.故选C.
13.B　由已知得=(a-3,-2),
因为||=2,所以=2,解得a=3(二重根),所以=(0,-2),
又=(-3,-4),所以=-3×0+(-4)×(-2)=8.故选B.
14.答案　(-∞,0)∪(0,5)
解析　因为a=(1,2),b=(2,4-λ),且a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,且cos≠1,
所以,解得λ<5且λ≠0,所以λ的取值范围为(-∞,0)∪(0,5).
15.答案　(-1,-2)
解析　因为a=(3,-4),b=(1,2),
所以a在b方向上的投影向量是·b=-b=(-1,-2).
16.解析　(1)由a=(1,1),b=(-1,2),可得|a|=,|b|=,a·b=1,
所以cos θ=.
(2)由已知得,a-b=(2,-1),λa+b=(λ,λ)+(-1,2)=(λ-1,λ+2),
则|a-b|=,|λa+b|=,
由题意得,解得λ=0或λ=-1.
故实数λ的值为0或-1.
17.C　由已知得,a+b=(3,-3),ka-b=(2k-1,-k+2),
因为(a+b)⊥(ka-b),所以3×(2k-1)+(-3)×(-k+2)=0,解得k=1.故选C.
18.AB　对于A,|a|=,则当t=0时,|a|取得最小值,为1,故A正确;
对于B,若a⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B正确;
对于C,若t=1,则a=(1,1),易知也是与a垂直的单位向量,故C错误;
对于D,若a与b的夹角为钝角,则cos<0,且cos≠-1,即<0,且≠-1,解得t<0且t≠-,故D错误.(易错:注意不要忽略两向量反向共线的情况,此时也满足cos<0)
故选AB.
19.答案　
解法一:因为3a+b=(-15,3k+4),b=(3,4),
所以a=[(3a+b)-b]=[(-15,3k+4)-(3,4)]=(-6,k),
因为a⊥b,所以a·b=(-6,k)·(3,4)=-18+4k=0,解得k=.
解法二:(3a+b)·b=(-15,3k+4)·(3,4)=-45+12k+16=-29+12k,
因为a⊥b,所以a·b=0,所以(3a+b)·b=3a·b+b2=32+42=25,所以-29+12k=25,解得k=.
20.解析　(1)易得=(1,-1),设点B(x,y),
则=(x-2,y).
∵|=2,
∴(x-2)2+y2=4.
∵||=2,
∴∠B≠90°.
当∠A=90°时,=0,∴x-y=0,即x=y.
又∵(x-2)2+y2=4,
∴
∴点B的坐标为(0,0)或(2,2).
当∠C=90°时,=0,∴x-2-y=0.
又∵(x-2)2+y2=4,∴
∴点B的坐标为(2+)或(2-).
综上所述,点B的坐标为(0,0)或(2,2)或(2+)或(2-).
(2)存在.假设存在满足条件的点B,C,依题意可设点B(b,0),C(c,0),b≠c,
则=(c-1,-1).
∵|=0,
∴|=(b-1)(c-1)+1=0,
∴
∴存在满足条件的点B,C,且点B的坐标为(0,0),点C的坐标为(2,0)或点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,0).
能力提升练
1.B　以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意得AC=2,则A(0,2),C(0,0),D(-2,0),
则).
因为,所以
解得所以λ+μ=.故选B.
2.D　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),
则=(-3,4).
设=(-3λ,4λ)(λ∈(0,1)),
则=(4-3λ,4λ).
因为=(4m,4n),
所以消去λ,得m+n=1.
因为m>0,n>0,所以,
当且仅当m=n时,等号成立.
故.
3.答案　
解析　设C(x,y),M(x1,y1),
则=(1,4),
由,得(x-3,y-2)=3(1,4),
所以即C(6,14),
因为,所以△DMA∽△BMC,所以,所以,
即(x1+1,y1-1)=,解得
即点M的坐标为.
方法技巧　本题在求得后,也可以直接使用线段定比分点的坐标公式求点M的坐标,即
M,即M.
线段定比分点的坐标公式:若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且(λ≠-1),则点P的坐标为.使用公式时要明确P1,P2,P分别表示起点、终点、定比分点.
4.答案　-
解析　如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为2a,a>0,则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a,
可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,
则xF=(+1)a·cos 30°,yF=(+1)a·sin 30°+2a,即F,
又=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),
即即2ax-2ay=a,
化简得x-y=-.
5.D　因为点A(0,1),B(-1,),O为坐标原点,所以),
所以|=2,
所以cos<,
因为<>∈[0,π],所以<,
所以||·|>=1×2×sin =1.故选D.
6.B　如图,取BC的中点O,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
由AB=AC=2,BC=2,得OA=,所以A(0,1),B(-,0),
因为点P在线段BC上,所以可设P(x,0),-≤x≤,
则-x,0),
则=-x·(-,
易知当x=-时,取得最小值,此时,则|,即PA=.
故选B.
7.B　
思路分析　
解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(t,0),C=(0,2),
所以=(1,2),即P(1,2),
故,
所以≤5-2,
当且仅当t=,即t=时,等号成立.
故选B.
8.C　因为,
所以
=
=)
=)
=,
因为λ+4μ=1,
所以,
所以||
=
=,
因为AB=AC=1,∠A=120°,
所以|
=,
当μ=-时,||取得最小值,且最小值为.
故选C.
方法总结　对于与向量有关的最值问题,通常是利用向量的数量积、平面向量基本定理等,通过消参,将其转化为一元二次函数问题来求解.
9.答案　-4
解析　设A(x,y),B(m,n),则C(x+2,y+1),D(m-2,n+1),所以=(m-x-4,n-y),
则=(m-x)2-4(m-x)+(n-y)2=(m-x-2)2+(n-y)2-4,当且仅当m-x=2,n=y时,取得最小值,最小值为-4.
10.答案　-
解析　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),
则=(-2,1).
易知△AOB∽△COD,
所以,所以O是AC上靠近点C的三等分点,故,所以O.
因为M在AB上,所以可设M(λ,0),0≤λ≤2,则,
因为OM⊥BD,所以=0,解得λ=,则,
所以·(-2,1)=-.
11.思路分析　
(1)求出b得到m→求m的模→得t的值
(2)cos→
求出|a-b|,|a+tb|,(a-b)·(a+tb)→
得关于t的方程→解方程即可
解析　(1)当α=时,b=,　
所以m=a+tb=(1,,　
所以|m|==|t+2|,所以当t=-2时,|m|取得最小值,为0.
(2)依题意得,cos.
若a⊥b,则a·b=0.
因为a=(1,),b=(cos α,sin α),
所以|a|==2,|b|==1,
所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=4+1=5,
|a+tb|2=a2+2ta·b+t2b2=|a|2+2ta·b+t2|b|2=4+t2,
所以|a-b|=,|a+tb|=,
又(a-b)·(a+tb)=a2+ta·b-a·b-tb2=|a|2-t|b|2=4-t,
所以,且t<4,
整理得3t2+16t-12=0,解得t=-6或t=,
所以存在t=-6或t=满足条件.
12.解析　当a=b=1,n=10时,=(0,1),
,
,
则,
,
故·(
=.
设M(j)=,
当i=6,7,8,9时,M(j)≥M(1)=(*),
当i=7时,(*)式有最小值;
当i=5时,M(j)==1;
当i=1,2,3,4时,M(j)≥M(9)=(**),
当i=3时,(**)式有最小值.
综上,.
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