2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.3.3 向量平行的坐标表示（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.3.3　向量平行的坐标表示
基础过关练
题组一　向量平行的坐标表示
1.(2024江苏常州联盟学校阶段调研)已知向量a=(1,2),b∥a,那么向量b可以是(　　)
A.(-1,-2)　　B.(-1,2)
C.(2,1)　　D.(-2,1)
2.(2024江苏常州二中月考)已知向量a=(4,x),b=(x,1),那么“x=2”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024江苏无锡江阴两校阶段检测)已知向量
=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m=(　　)
A.　　C.-
题组二　向量平行的坐标表示的应用
4.(2023江苏镇江扬中第二高级中学期中)若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,-4),且a∥c,则a在b上的投影向量为(　　)
A.
C.
5.(2024湘豫名校联考)已知向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),若2a+b与a-c反向共线,则实数x的值为(　　)
A.-7　　B.3
C.3或-7　　D.-3或7
6.(2024江苏常州一中阶段质量调研)已知向量a=(-1,x)(x∈R),b=(2,4),且a∥b,则|a|=　　　　.
7.(2023山东新高考联合质量测评)设=(t,2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数t应满足的条件为　　　　.
8.(2024江苏苏州桃坞高级中学能力测试)已知向量a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4).
(1)若|e|=1,且e∥a,求e的坐标;
(2)若(ka+b)∥c,求k的值.
9.(2023广东阳江两阳中学期末)已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),且(t∈R).
(1)若点P位于第二象限,求t的取值范围;
(2)四边形OABP可能是平行四边形吗 若可能,求出相应的t的值;若不可能,请说明理由.
能力提升练
题组　向量平行的坐标表示及其应用
1.(2024山东青岛第二中学月考)已知向量a=(x,y),若向量(12m,5m)(m>0)与a反向,且向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0),则x-y的值为(　　)
A.7　　B.-17　　
C.17　　D.-7
(2022山东省实验中学三诊)设向量
的最小值为(　　)
A.4　　B.6　　C.8　　D.9
(2022江苏宜兴阳羡高级中学期中)在△ABC中,若AB=AC=5,BC=6,点E满足,直线CE与AB相交于点D,则
cos∠ADE=(　　)
　　
C.-
4.(2024北京东城一模)设向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,则m=　　　　.
5.(2022江西九校期中联考)已知向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α∈R,若a=2b,则的取值范围是　　　　.
6.(2024江苏无锡锡山高级中学期中)在平面直角坐标系中,已知向量.
(1)求x与y之间的关系式;
(2)若,求四边形ABCD的面积.
(2024山西运城南风学校月考)在平面直角坐标系中,已知
A(-1,2),B(3,4),C(2,1).
(1)若O为坐标原点,是否存在实数t,使得成立
(2)已知在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2CD,求点D的坐标;
(3)若点E满足|=1,求点E的坐标.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　因为向量a=(1,2),b∥a,所以存在λ∈R,使得b=λa=(λ,2λ),
结合选项可知向量(-1,-2)符合.故选A.
2.A　已知向量a=(4,x),b=(x,1),若a∥b,则4=x2,解得x=±2,
所以“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
3.D　由已知得=(4,m+6),
因为A,C,D三点共线,所以.故选D.
4.C　因为a=(x,2),c=(2,-4),a∥c,所以-4x=4,解得x=-1,即a=(-1,2),
所以a在b上的投影向量为·b=.故选C.
5.A　因为a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x).
因为2a+b与a-c共线,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7.
当x=3时,2a+b与a-c同向共线,故舍去;
当x=-7时满足条件,故x=-7.故选A.
6.答案　
解析　由a∥b得(-1)×4-2x=0,解得x=-2,则a=(-1,-2),故|a|=.
7.答案　t≠
解析　若A,B,C三点能构成三角形,则不共线,
又=(2,4)-(1,-1)=(1,5),
=(t,2)-(1,-1)=(t-1,3),
所以1×3-(t-1)×5≠0,所以t≠.
故答案为t≠.
8.解析　(1)设e=(x0,y0),
由|e|=1,且e∥a,a=(2,-1),得
解得
∴e的坐标为.
(2)由已知得,ka+b=k(2,-1)+(1,2)=(2k+1,-k+2),
∵(ka+b)∥c,c=(3,-4),
∴(2k+1)×(-4)=(-k+2)×3,
解得k=-2.
9.解析　(1)易得=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),所以点P的坐标为(2t+1,2t+2).
若点P位于第二象限,则.
故t的取值范围为.
(2)不可能.理由如下:
若四边形OABP是平行四边形,则,
易知=(2t+1,2t+2),
所以2(2t+2)=2(2t+1),该方程无解,
所以四边形OABP不可能是平行四边形.
能力提升练
1.D　因为向量(12m,5m)(m>0)与a=(x,y)反向,
所以x·5m-y·12m=0,且x,y<0,可得5x=12y,
又向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0),
所以=(-12,0),解得x=-12,故y=-5,
则x-y=-12-(-5)=-7.故选D.
2.C　∵=(-b,0),
∴=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴(2a+b)
=2+2+=8,
当且仅当时取等号,
故的最小值为8,故选C.
3.A　如图所示,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
因为AB=AC=5,BC=6,
所以B(0,0),C(6,0),A(3,4).
设,x,y∈R,
由题意可知点D在线段AB上(不包括端点),
所以x>0,y>0,x+y=1.
因为,C,E,D三点共线,
所以.
联立
则.
易得=(-3,4),
所以,
易得=(3,4),
则cos∠ADE=.
故选A.
4.答案　-
解析　设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=|a|·|b|,解得cos θ=1,因为θ∈[0,π],所以θ=0,所以a,b同向共线,又a=(1,m),b=(3,-4),所以-4=3m,解得m=-,满足题意.
5.答案　[-6,1]
解析　∵2b=(2m,m+2sin α),a=(λ+2,λ2-cos2α),a=2b,
∴
∴(2m-2)2-m=cos2α+2sin α,
即4m2-9m+4=1-sin2α+2sin α,
又∵1-sin2α+2sin α=-(sin α-1)2+2,sin α∈[-1,1],∴-(sin α-1)2+2∈[-2,2],
∴-2≤4m2-9m+4≤2,解得≤4,
又λ=2m-2,∴,
∴-6≤的取值范围是[-6,1].
6.解析　(1)由题意得=(x+4,y-2).
因为=(x,y),
所以y(x+4)-x(y-2)=0,即x+2y=0,
所以x与y之间的关系式为x+2y=0.
(2)由题意,得=(x+6,y+1),
=(x-2,y-3),
因为,所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
即x2+y2+4x-2y-15=0,
联立
当=(0,-4),
则S四边形ABCD=|=16;
当=(-8,0),
则S四边形ABCD=|=16.(对角线互相垂直的四边形的面积为两条对角线的长的乘积的一半)
所以四边形ABCD的面积为16.
7.解析　(1)假设存在实数t使得成立,
则(3t-1,4t+2)=(2,1),
可得无实数解,
因此不存在实数t,使得成立.
(2)设点D的坐标为(x,y),
由题意得,即(4,2)=2(2-x,1-y),
故
因此,点D的坐标为(0,0).
(3)设点E的坐标为(a,b),则=(-1,-3),
由
解得
故点E的坐标为(-2,2)或.
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