2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--9.4 向量应用（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
9.4　向量应用
基础过关练
题组一　向量在几何中的应用
1.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则=(　　)
A.2　　B.4　　
C.5　　D.10
2.(2022辽宁锦州期末)已知△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,点D在BC边上,且BD=BC,则线段AD的长度为(　　)
A.　　
C.
3.(2023江苏苏州常熟中学调研)若点P是△ABC的外心,且=0,∠ACB=120°,则实数λ的值为(　　)
A.　　
C.-1　　D.1
4.(2024江苏常州北郊高级中学学情调研)如图,在△ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,,则cos B的最小值为　　　　.
如图所示,已知直角梯形ABCO中,
∠ABC=∠BCO=90°,AB=1,BC=(其中0(1)当m=时,证明:O,G,B三点共线;
(2)若mn=|的最小值.
6.(2024江苏南通通州质量监测)如图,在△ABC中,已知AB=,点N为AC边的中点,AM,BN相交于点P.
(1)求||;
(2)求cos∠MPN.
题组二　向量在物理中的应用
7.(2023山东滨州阶段练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:g=10 N/kg)(　　)
A.60　　B.61　　C.75　　D.60
8.(多选题)(2023山东菏泽阶段练习)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的场景.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.下列结论中正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的取值范围为[0,π]
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
9.(2024江苏镇江期中)已知一条东西方向的河流两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流,大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中的实际速度为v2.
(1)要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)要使此人游的时间最短,且|v1|= m/s,求此人实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小.
10.(2024四川绵阳中学月考)质量m=2.0 kg的木块在平行于斜面向上,大小为10 N的拉力F的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求木块所受各力对木块所做的功;
(2)在这个过程中,木块所受各力对木块做功的代数和是多少
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　
=
=
=-6=42-6=10.
2.D　由题意得,
因为||=2,∠BAC=60°,
所以|
=
=,
即线段AD的长度为.故选D.
C　设AB的中点为D,则
=0,所以λ=-1,故选C.
4.答案　
解析　∵D,E是BC上的两个三等分点,
∴,
则,
,
∵,
∴,
由基本不等式得cos B=,
当且仅当||时等号成立.
故cos B的最小值为.
5.解析　(1)证明:依题意,,
,
显然有共线,
又OB,OG有公共点O,所以O,G,B三点共线.
(2)连接AC(图略),易得AC==2,
又OA=OC=2,所以△OAC是等边三角形,所以∠AOC=60°.
依题意,),
所以|.
6.解析　(1)因为点N为AC边的中点,所以.
因为AB=×cos 45°=6,
所以|.
(2)由
=.
.
又|,
所以cos∠MPN=.
7.D　如图,||sin 60°=600,
所以|G|=||=600,
因此该学生的体重为=60(kg).故选D.
8.AD　对于A,根据题意,得|G|=|F1+F2|,
故|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|×|F2|×cos θ=2|F1|2·(1+cos θ),所以|F1|2=,
由题意知θ∈(0,π),此时y=cos θ单调递减,所以θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误;
对于C,当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误;
对于D,当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确.
故选AD.
解题模板　用向量法解决物理问题时,正确作出相应的几何图形有助于建立数学模型.用向量知识来解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
9.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人在静水中游泳的速度和水流速度的和速度与河对岸垂直,如图1.
此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,此时|v2|=.
　
(2)如图2,由题意知v0与v2的夹角为β,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的路程为s m,
则|v1|sin(π-θ)=|v2|sin β,即|v1|sin θ=|v2|sin β,又sin β=,(过v1,v2的终点作v0所在直线的垂线,构造直角三角形即可得到)
∴为实际的路程除以实际的速度,即所用的时间,当sin θ最大时,时间最短
∴当θ=时,此人游泳到河对岸用时最短,
此时|v2|=.
10.解析　(1)木块受三个力的作用,重力G、拉力F和支持力FN,如图所示,
拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J).
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
即支持力对木块所做的功为0 J.
重力G对木块所做的功为WG=G·s=|G||s|·cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)木块所受各力对木块做功的代数和为20+0-19.6=0.4(J).
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