2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.1 两角和与差的余弦（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第10章　三角恒等变换
10.1　两角和与差的三角函数
10.1.1　两角和与差的余弦
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)cos 105°等于(　　)
A.
C.-
2.(2024江苏南京六校联合体期中)cos 24°·cos 69°+sin 24°·
sin 111°=(　　)
A.-
3.(2024陕西西安长安一模)等于(　　)
A.　　D.1
4.已知平面向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(α, β∈R),当α=时,a·b=　　　　.
题组二　给值求值
5.(2024江苏南通通州质量监测)已知cos α=-=(　　)
A.
6.(2024安徽黄山高中毕业班第一次质量检测)
已知sin αsin β=,则cos(α+β)=(　　)
A.-
7.(2024四川成都石室蜀都中学月考)在△ABC中,若cos A=,则cos B=　　　　.
8.(2024山西朔州怀仁一中期中)已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)=　　　　.
题组三　给值求角
9.(多选题)若α∈[0,2π],sin=0,则α的值可以是(　　)
A.
10.(2024江苏苏州吴江高级中学月考)已知锐角α,β满足
sin α=,则α+β=(　　)
A.
11.(2024江西九江二模)已知α,β∈,则α+β=(　　)
A.　　
C.
12.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知α,β都是锐角,
cos α=,则β=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的余弦公式求值
1.(多选题)(2022山东聊城一中期末)已知cos α=,则cos β的值可能为(　　)
A.-
2.(2024广东深圳实验学校阶段考试)已知函数f(x)=5sin,若存在α,β,满足0<α<β<2π,且f(α)=f(β)=1,则cos(β-α)=(　　)
A.
3.(2024江苏扬州中学期中)已知cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),则tan θ=(　　)
A.
4.(2024江苏连云港东海高级中学第一次检测)已知0<β<α<,则cos 2α=　　　　　.
题组二　利用两角和与差的余弦公式求角
(2024江苏南通海门中学学情调研)已知cos 2α=-
,则α-β=(　　)
A.
6.(2024四川成都百师联盟冲刺)已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ=
sin β,cos β+cos γ=cos α,则α-β=(　　)
A.-
7.(2024江苏南京六校联合体期中)已知cos α=.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,求β的值.
8.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α 的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　cos 105°=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°·sin 45°=.故选D.
2.B　cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°)=cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69°=cos(69°-24°)=cos 45°=.故选B.
3.C　
=
=
=.故选C.
4.答案　
解析　a·b=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)
=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),
当α=时,a·b=cos.
5.A　因为cos α=-,
所以cos.故选A.
6.B　因为sin αsin β=,
则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.
故选B.
7.答案　
解析　在△ABC中,0所以sin A=,
又A+B+C=π,所以B=π-(A+C),
所以cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=-cos A·cos C+sin Asin C=-.
8.答案　-
解析　由题意得(2cos α-cos β)2=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=.
9.CD　由已知得cos=cos α=0,
又α∈[0,2π],所以α=.故选CD.
10.B　因为α,β均为锐角,且sin α=,
所以cos α=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
(点拨:本题选择求α+β的余弦值的理由是α+β的余弦值的符号可以缩小角的取值范围)
又α∈.故选B.
11.A　因为cos(α-β)=,
所以
解得
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
又α,β∈.
故选A.
12.答案　
解析　∵α,β均为锐角,∴0<α+β<π,
∵cos α=,
∴sin α=,
sin(α+β)=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-,
∵β为锐角,∴β=.
解题模板　解决给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值;
(2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角.
能力提升练
1.AC　因为cos α=.
又cos(α+β)=-.
易得cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
当sin α与sin(α+β)同号时,sin(α+β)sin α=,
则cos β=-;
当sin α与sin(α+β)异号时,sin(α+β)sin α=-,
则cos β=-,
所以cos β的值为-.故选AC.
2.D　令f(x)=5sin,
令f(x)=5sin,
(点拨:以上求解的目的是进一步缩小α,β的取值范围)　
又0<α<β<2π,f(α)=f(β)=1,
所以,
因为0<α-<π,
所以cos,
则cos(β-α)=cos
=cos
=-.故选D.
3.D　因为cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),
所以cos θcos 20°-sin θsin 20°=cos θcos 40°-sin θ·sin 40°+cos θ·
cos 40°+sin θsin 40°,
所以cos θcos 20°-2cos θcos 40°=sin θsin 20°,
所以cos θ(cos 20°-2cos 40°)=sin θsin 20°,
易知cos θ≠0,所以,
即tan θ=　
=
=
=
=.
故选D.
4.答案　0
解析　∵sin αsin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
∵0<β<α<,0<α+β<π,
则sin(α-β)=,
则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)==0.
方法技巧　用两角和与差的余弦公式求值时,常将所求角进行拆分或组合,常见的变换如下:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等.
5.B　因为α∈,
因为α∈,　
又α-β=2α-(α+β),
所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
=.
又因为α-β∈[0,π],所以α-β=.故选B.
6.A　由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ,
∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
(提示:所求角与γ无关,则需根据已知条件消去γ)
即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1,
即2-2cos(α-β)=1,解得cos(α-β)=.
因为γ∈,
∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α又α,β∈<α-β<0,
∴α-β=-.故选A.
7.解析　(1)因为cos α=,
∴cos.
(2)由α∈,
又sin(α+β)=-,
∴cos(α+β)=,
故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=,
又β∈.
8.解析　(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
(2)∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β)
=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),
∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2
=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1.
同理可得,|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1.
又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2,
∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β).
∵k≠0,∴cos(α-β)=0,∴cos(β-α)=0.
又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=.
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