2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.2 两角和与差的正弦（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
10.1.2　两角和与差的正弦
基础过关练
题组一　给角求值
(2024江苏张家港沙洲中学阶段性测试)计算:sin 25°cos 35°-
cos 155°cos 55°=(　　)
A.
2.(2024江苏徐州丰县中学学情调研)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.经研究,黄金分割比t=tan 12°=(　　)
A.4　　B.2　　C.1　　D.
3.(2024河南信阳第一高级中学第一次质量检测)求值:sin=　　　　.
题组二　给值求值
4.(2023天津大学附属中学期末)在△ABC中,若A=,则sin C=(　　)
A.
5.(2024江苏连云港高级中学期中)已知α∈,则sin α的值为(　　)
A.
C.
6.(2024陕西多校联考)已知,则sin(α+β)=(　　)
A.
7.(2024山东部分学校二模)在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(-=　　　　.
题组三　给值求角
8.已知α,β均为锐角,且sin α=,则α-β的值为(　　)
A.
9.(2024内蒙古名校联盟期中联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin Acos C=sin B+cos A,则A=　　　　.
题组四　辅助角公式
10.(2024河北唐山期末)若函数f(x)=2cos x-2sin x,则f(x)可以化简为f(x)=(　　)
A.4cos
C.4cos
11.(多选题)下列计算中正确的是(　　)
A.
B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
C.sin
D.=2
12.(2024辽宁沈阳第二中学期中)求值:=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的正弦公式求值
1.(2022江苏天一中学期末)已知α为锐角,且cos的值为(　　)
A.
2.(2022江苏南京第五高级中学一模)已知sin的值为(　　)
A.-
3.(多选题)(2024江苏镇江扬中第二高级中学调研)已知α,β∈,则(　　)
A.sin(α+β)=
C.sin 2α=
4.(2023江苏联考)已知α,β满足0<α<,则sin(α-β)=　　　　.
5.(2024黑龙江齐齐哈尔第八中学校月考)已知α∈(0,π),β∈(0,π),sin(α-β)==-5.
(1)求sin α·cos β的值;
(2)求α+β的值.
题组二　两角和与差的正弦公式的综合应用
6.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C),则△ABC的形状一定是(　　)
A.等边三角形
B.不含60°角的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
7.(多选题)(2023江苏常州前黄高级中学阶段练习)关于锐角三角形ABC,下列命题成立的是(　　)
A.若sin A=,tan B=3,则AB.tan A·tan B<1
C.sin A+sin B>cos A+cos B
D.sin A+sin B>1
8.(2024上海格致中学期中,)已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0,π]上有实数解,则实数m的取值范围是　　　　.
9.(2022浙江湖州期中,)已知a=(1,),b=(cos θ,sin θ),则|a+2b|的取值范围是　　　　　.
10.(2024山东烟台第一中学月考)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=.
(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;
(2)设α=π,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　原式=sin 25°cos 35°-cos(180°-25°)cos(90°-35°)
=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°
=sin(25°+35°)=sin 60°=.故选B.
2.C　由题意知,t=2sin 18°,
则
=
=
==1.故选C.
3.答案　-
解析　sin
=sin.
4.A　易得sin B=,
∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=.
故选A.
5.D　因为α∈,
又因为sin,
所以sin α=sin.
故选D.
6.B　由=2,可得sin(α+β)=2sin(α-β),
即sin αcos β+cos αsin β=2sin αcos β-2cos αsin β,
即3cos αsin β=sin αcos β,
因为cos αsin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
故选B.
7.答案　-
解析　由题意及三角函数的定义,得sin α=,
故sin.
8.B　由题意得cos α=.
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=.
∵α,β均为锐角,∴-.
9.答案　
解析　因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C),
则sin Acos C=sin B+cos A=sin(A+C)+cos A=sin A·cos C+cos A
·sin C+cos A,即cos Asin C+cos A=0,
(点拨:求解关键是根据三角形内角和定理消去角B)
即(sin C+1)cos A=0,
因为C∈(0,π),所以sin C+1>0,则cos A=0,又A∈(0,π),所以A=.
10.C　f(x)=2,C正确.容易判断其他选项均不满足要求.故选C.
11.ACD　对于A,,故A正确;
对于B,sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°·
sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故B错误;
对于C,sin,故C正确;
对于D,=2,故D正确.
故选ACD.
12.答案　-2
解析　
=
=,
因为sin 40°-sin 50°=sin(45°-5°)-sin(45°+5°)
=-2cos 45°sin 5°=-2×sin 5°,
所以原式=.
解题模板　辅助角公式及其运用
(1)公式形式:公式asin α+bcos α=将形如asin α+bcos α(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的某一三角函数式.
(2)形式选择:化为正弦还是化为余弦,要看具体条件,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
能力提升练
1.C　∵α为锐角,∴0<α<,
又cos.
∴sin
=
=.故选C.
2.B　由sin,
∴cos α-sin α=,
∴1-2sin αcos α=,
∴.
故选B.
3.ACD　对于A,因为α,β∈,故A正确;
对于B,因为α,β∈,故B错误;
对于C,因为2α=(α+β)+(α-β),
所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,故C正确;
对于D,易得,故D正确.
(点拨:分子、分母同时除以cos α·cos β可将正、余弦转化为正切)故选ACD.
4.答案　-
解析　因为0<α<<π,
故sin,
cos,
则sin(α-β)=sin
=sin
=.
5.解析　(1)因为=-5,即sin α·cos β=-5cos α·sin β.①
又sin(α-β)=.②
由①②得cos α·sin β=-.
(2)因为α∈(0,π),β∈(0,π),cos α·sin β=-,
所以cos α<0,cos β>0,
所以α∈,
又sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β=,
所以α+β=.
6.D　在△ABC中,A+B+C=π.
∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),
∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,
∴sin Acos B+cos Asin B=1,
即sin(A+B)=1,∴sin C=1,
又0°∴△ABC为直角三角形,无法判断其是不是等腰三角形.故选D.
7.ACD　对于A,由A为锐角,sin A=,故tan A=2对于B,假设tan A·tan B<1成立,则sin Asin B-cos Acos B<0,化简得cos(A+B)>0,所以cos C<0,则C为钝角,不符合题意,B错误;
对于C,假设sin A+sin B>cos A+cos B成立,则
,符合题意,C正确;
对于D,由A,B,C均为锐角得A+B>
>1,所以sin A+sin B>1,D正确.故选ACD.
8.答案　[--1,1]
解析　设y=sin x+,
因为x∈[0,π],所以x+,
所以sin,2],
因为原方程在x∈[0,π]上有实数解,
所以m+1∈[--1,1].
9.答案　[0,4]
解析　a+2b=(1,+2sin θ),
所以|a+2b|=
=
=.
因为-1≤sin≤1,
所以0≤=4,
故|a+2b|的取值范围是[0,4].
解析　(1)由题得|c|==1,|a|=|b|=1,且a·b=-cos αsin β+sin α
·cos β=sin(α-β).
因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a·b+b2=1,
所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-.
(2)因为α=π,所以a=,
又b+c=,a∥(b+c),
所以-=0,
即,
因为0<β<π,所以-,
所以β-.
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