2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.3 两角和与差的正切（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
10.1.3　两角和与差的正切
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2022江苏淮阴中学期末)求值:tan 15°+=(　　)
A.4　　B.
2.(2024江苏南通海门中学学情调研)计算:=(　　)
A.-
3.(2024江苏扬州新华中学期中)计算:tan 73°-tan 13°-tan 73°
·tan 13°=　　　　.
题组二　给值求值
4.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点(1,2),则tan α=(　　)
A.-3　　B.-　　D.3
5.(2024广东梅州梅县东山中学期中)已知θ为第二象限角,且cos(θ+π)==(　　)
A.-7　　B.-　　D.7
6.(2024江苏淮安高中校协作体期末)已知tan=(　　)
A.1　　B.-1　　C.-
7.(2024江西抚州金溪第一中学月考)如图,AB=BD,AB⊥BD,C为BD的中点,E为AC的中点,则tan∠CED=(　　)
A.
8.(2024青海部分学校联考)若α+β=,tan α=2,则tan β=　　　　.
题组三　给值求角
9.(2022江苏宿迁泗阳实验高级中学阶段测试)已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为(　　)
A.
10.已知tan α,tan β是方程x2+3,则α+β=(　　)
A.-
C.-
11.(2024内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学开学考试)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=,则2α+β=(　　)
A. C.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的正切公式求值
1.已知的值为(　　)
A.
C.2-
2.(2023江苏南京师大附中开学考试)我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题:“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 ”这个问题体现了古代对直角三角形的研究.现有一竖立的木柱子,其高为4米,绳索系在柱子上端,牵着绳索退行,当绳索与地面的夹角为75°时,绳索未用尽,再退行4米,绳索用尽(绳索与地面接触),则绳索的长为(　　)
A.3米
C.5米
(多选题)(2024江苏镇江中学学情检测)已知α,β∈,且
sin β=2cos(α+β)sin α,则以下结论正确的是(　　)
A.tan(α+β)=3tan α　　B.tan β有最大值
C.tan β有最大值
4.(2022江苏南通期末)△ABC中,若A,B∈,sin C=sin Asin B,则tan(A+B)的取值范围是(　　)
A.
C.
5.(2024贵州凯里第一中学二模)已知0<α<β<π,且sin(α+β)=2cos(α+β),sin αsin β-3cos α·cos β=0,则tan(α-β)=　　　　.
6.(2024上海交通大学附属中学阶段测试)已知△ABC中,A,B,C为其三个内角,且tan A,tan B,tan C都是整数,则tan A+tan B+tan C=　　　　.　
题组二　利用两角和与差的正切公式求角
7.(2024新疆乌鲁木齐第二十三中学月考)已知α,β均为锐角,且满足=2cos α,则α-β的最大值为(　　)
A.
C.
8.(2024湘豫名校联考)已知角α,β满足β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z),tan(α+β)
·cos β=sin β+tan αcos β,则sin α=　　　　　.
9.若△ABC的三个内角A,B,C满足:2B=A+C,且Atan Atan C=2+,求A,B,C的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
A　∵tan 15°=tan(45°-30°)=
=4.
故选A.
2.D　.故选D.
技巧点拨　“1”的代换:在与T(α±β)有关的分式中,若分子上出现了“1”,则常利用“1=tan.
3.答案　
解析　因为tan 60°=tan(73°-13°)=,
所以tan 73°-tan 13°=(1+tan 73°tan 13°),
所以tan 73°-tan 13°-.
技巧点拨　若待化简或求值的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·
tan β”两个整体,则常考虑应用tan(α±β)的变形公式来解决.
4.A　设旋转后的角为β,则β=α-,tan β=2,
所以tan α=tan=-3.故选A.
5.D　因为θ为第二象限角,且cos(θ+π)=-cos θ=,
所以cos θ=-,
则tan θ=,
所以tan=7.
故选D.
6.A　因为tan=2,tan(α+β)=-3,
所以tan
==1.故选A.
7.C　取BC的中点F,连接EF.
设AB=BD=4,则EF=2,CF=1,DF=3,且EF∥AB.
因为AB⊥BD,所以EF⊥BD,
所以tan∠DEF=,
则tan∠CED=tan(∠DEF-∠CEF)=.
故选C.
8.答案　3
解析　因为α+β==3.
9.B　由题意得cos α=,
所以tan α=.
所以tan(α+β)==-1.
易得α+β∈.故选B.
10.C　因为tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不等实根,
所以
则tan(α+β)=,
又α,β∈.
故选C.
11.A　因为角β∈(0,π),cos β=上单调递增,
所以β∈,
而tan α=tan[(α+β)-β]=,
所以tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]==1,
又2α+β∈.故选A.
能力提升练
1.D　∵cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ,
∴(-cos θ)=cos2θ-sin2θ,
∴-cos θ(sin θ-cos θ)=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ),
∴sin θ(cos θ-sin θ)=0,
∵sin θ≠0,∴cos θ-sin θ=0,∴tan θ=1,
∴tan.故选D.
2.B　如图,AB⊥BD,AB=4,CD=4,∠ACB=75°,
则∠CAB=90°-75°=15°,
所以BC=ABtan∠CAB=4tan 15°=4tan(45°-30°)
=4×,
所以BD=BC+CD=8,
所以AD=,
故绳索的长为4米.故选B.
3.AC　对于A,因为sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α,且sin β=2cos(α+β)sin α,
所以sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,易知cos(α+β),cos α≠0,则tan(α+β)=3tan α,故A正确;
对于B,C,D,令tan α=t,则tan(α+β)=3tan α=3t,
因为α∈,所以tan α>0,则t>0,
所以tan β=tan[(α+β)-α]=,
当且仅当3t=
,故C正确,B,D错误.故选AC.
4.A　
思路分析　
解析　∵A,B∈,∴cos Acos B≠0,
∵sin C=sin Asin B,即sin(A+B)=sin Asin B,
∴sin Acos B+cos Asin B=sin Asin B,
两边同时除以cos Acos B,得tan A+tan B=tan Atan B,
∴tan(A+B)=
=,∴tan A,tan B>0,
∴tan A+tan B≥2,当且仅当tan A=tan B时等号成立,
∴tan Atan B≥4,
∴0<,
∴-<-1,
即tan(A+B)的取值范围是.故选A.
5.答案　-
解析　∵sin αsin β-3cos αcos β=0,
∴sin αsin β=3cos αcos β,
∴tan αtan β=3①,
∵sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2 =2,
∴tan α+tan β=-4②,
由①②解得
∵0<α<β<π,∴tan α∴.
6.答案　6
解析　在△ABC中,不妨令A≤B≤C,显然A为锐角,且tan A>0,又tan A是整数,故tan A≥1且tan A∈Z.
若tan A≥2,tan A∈Z,因为2>,
此时A+B+C≥3A>π,与A+B+C=π矛盾,因此tan A=1,则A=,
则tan(B+C)==-1,
整理得(tan B-1)(tan C-1)=2,
又tan B,tan C都是整数,且tan B≤tan C,所以tan B=2,tan C=3,
所以tan A+tan B+tan C=6.
7.B　由=2cos α,得sin(α-β)=2cos αsin β,
即sin αcos β-cos αsin β=2cos αsin β,即sin αcos β=3cos αsin β,
易知cos α,cos β≠0,则tan α=3tan β,
由β为锐角,得tan β>0,所以tan(α-β)=,
当且仅当时等号成立,
由题得α-β∈.
故选B.
8.答案　0
解析　由已知得[tan(α+β)-tan α]cos β=sin β,显然cos β≠0,否则sin β=0,与sin2β+cos2β=1矛盾,
则tan(α+β)-tan α=tan β,即tan(α+β)=tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),
于是tan(α+β)tan αtan β=0,而β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z),即tan(α+β)tan β≠0,
因此tan α=0,所以sin α=0.
9.解析　由题意知
∴B=60°,A+C=120°.
∵tan Atan C=2+,
∴tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C)
=tan 120°×(1-2-)
=-.
∴tan A,tan C可作为一元二次方程x2-(3+=0的两个不同的实数根,
易得该方程的两个实数根分别为1和2+,
又∵0°∴tan A=1,tan C=2+,
∴A=45°,C=75°.
∴A,B,C的大小分别为45°,60°,75°.
方法技巧　两角和与差的正切公式有两种变形形式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);②1 tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(差)时常用变形形式②.
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