2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--10.2 二倍角的三角函数（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
10.2　二倍角的三角函数
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江苏南通通州质量监测)sin 20°cos 20°-cos225°=(　　)
A.1　　B.
2.(多选题)(2024江苏宿迁宿豫中学学情调研)下列四个式子中,计算正确的是(　　)
A.2cos215°-1=　　
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.　　
D.cos222.5°-cos267.5°=
3.(2024江苏连云港高级中学期中)计算:cos 40°=　　　.
题组二　给值求值
(2024黑龙江齐齐哈尔恒昌中学校月考)已知,
则sin 2θ=(　　)
A.-
5.(2023江苏南京开学考试)已知cos=(　　)
A.
6.(2024浙江绍兴适应性考试)已知x∈=(　　)
A.-
7.(2023江苏江阴高级中学期末)已知sinsin 2α=(　　)
A.
8.(2024江苏镇江扬中第二高级中学学情调研)已知sin=　　　　.
9.已知tan α=-.
(1)求tan 2α的值;
(2)求的值;
(3)求sin的值.
题组三　给值求角
10.(2024吉林长春东北师范大学附属中学阶段验收考试)已知α∈,则2α-β的值为(　　)
A.-
11.(2024江苏常州教育学会学业水平监测)已知α为钝角,tan=2.
(1)求tan的值;
(2)若锐角β满足7tan2β-7=2tan β,求α+2β的值.
题组四　倍角公式的综合应用
12.(2024江苏扬州中学期中)函数f(x)=2sin x·cos x+2cos2x的最大值是(　　)
A.1　　B.
C.
13.(2022北京师范大学附属实验中学开学考试)在△ABC中,若sin Bsin C=cos2,则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　D.等腰直角三角形
14.(2024江苏泰州中学期中)若△ABC所在平面内一点P满足,则cos 2α=(　　)
A.
C.
15.(2022江苏宿迁沭阳修远中学期中)设a=tan 37°tan 23°,c=4sin 16°sin 74°,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.c16.证明:=tan A.
17.(2024山东德州夏津第一中学月考)已知a=(cos x,1),b=(sin x,-1),f(x)=(a+b)·a-.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
能力提升练
题组一　利用倍角公式化简求值
(2022江苏南通模拟)在△ABC中,若tan A+tan B+
tan Atan B,则tan 2C=(　　)
A.-2
2.(2024广东佛山教学质量检测)已知角θ满足=0,则cos 2θ的值为(　　)
A.-
3.(2024黑龙江双鸭山友谊高级中学模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ的正切值的乘积,即l=htan θ.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次的太阳天顶距分别为α,β,第二次的“晷影长”是“表高”的3倍,且cos 2α+sin 2α=-,则tan(α-β)的值为(　　)
A.-　　
C.4　　D.13
4.(多选题)(2023江苏南京第一中学期末)已知α,β均为第二象限角,且sin αtan,则下列各式可能成立的是(　　)
A.α=β　　B.α>β　　
C.α=2β　　D.α>2β
5.(2022上海川沙中学阶段练习)已知tan 2θ=-2=　　　.
题组二　倍角公式的综合应用
6.记集合A=[a,b],当θ∈sin θcos θ+2cos2θ的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则b-a的最小值是　　　　.
7.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=sin 2x.
(1)求f(x)在[0,π]上的增区间;
(2)求函数g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和.
(2023江苏常熟中学期末)如图,某景区的平面图是一个半圆形,其直径AB的长为2 km,C和D两点在半圆弧上,且满足BC=CD.
设∠COB=θ.现要在景区内铺设一条观光道路,由AB,BC,CD和DA四条直道组成,试确定当θ为何值时,观光道路的总长l最大,并求出l的最大值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　sin 20°cos 20°-cos225°=
=.故选D.
2.BCD　对于A,2cos215°-1=cos 30°=,故A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,cos222.5°-cos267.5°=cos222.5°-sin222.5°=cos 45°=,故D正确.故选BCD.
3.答案　1
解析　cos 40°
=cos 40°·
=cos 40°·
=cos 40°·
=cos 40°·=1.
4.D　(*),
对(*)式等号两边同时平方,得cos2θ-2sin θcos θ+sin2θ=1-
sin 2θ=.故选D.
5.D　sin.故选D.
6.B　解法一:因为x∈,
又sin,
从而sin,
所以tan.故选B.
解法二:因为x∈,
又sin,
所以tan,
则tan.故选B.
7.A　由sin,
则cos 2α+
=2cos
=2.故选A.
8.答案　
解析　因为sin,
所以sin.
9.解析　(1)∵tan α=-.
(2)由tan α=-,
可得.
(3)由tan α=-,
可得sin 2α=,
cos 2α=,
∴sin
=-.
10.B　由已知可得tan[2(α-β)]=,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==-1,
因为β∈,
又α∈.故选B.
11.解析　(1)∵tan α=,
∴tan=7.
(2)由7tan2β-7=2tan β可得tan β=,
由β是锐角得tan β=,
所以tan 2β==-7,
所以tan(α+2β)==1.
由0<β<<2β<π,
又.
12.C　f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=+1.
故选C.
B　由题意得sin Bsin C=,
即sin Bsin C=1-cos Ccos B,
∴cos(C-B)=1,
∵0∴C-B=0,即C=B,
∴△ABC一定是等腰三角形.故选B.
14.B　∵,
∴,
又,
∴sin2α=,
∴cos 2α=cos2α-sin2α=.故选B.
B　=
sin 28°+cos 28°,
=cos 28°-
sin 28°,
∴a==2sin 28°<2sin 30°=1,
∵tan 60°=tan(23°+37°)=,
∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,
∴b=tan 23°+tan 37°+,故b>a.
c=4sin 16°sin 74°=4sin 16°cos 16°=2sin 32°>2sin 30°=1,则c>a.
∵2sin 32°<2sin 60°=,∴cc>a.故选B.
16.证明　左边=
=
=
==tan A=右边,故原式得证.
17.解析　(1)因为a=(cos x,1),b=(sin x,-1),a∥b,
所以,
所以cos 2x=cos2x-sin2x=.
(2)f(x)=(a+b)·a-
=(
=3cos2x+
=3·
=cos 2x+1
=+1,
令-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
解题模板　应用公式解决三角函数综合问题的步骤
运用两角和与差的三角函数公式、倍角公式化简统一化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
能力提升练
1.A　由题意得tan A+tan B=(tan Atan B-1),
所以tan(A+B)=
=,
所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,
所以tan 2C=.
故选A.
2.C　由已知得
==0,
则3sin2θ-4sin θ-4=(3sin θ+2)(sin θ-2)=0,
解得sin θ=-,
则cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×.
故选C.
3.B　由已知得tan β=3,tan α>0.
易得cos 2α=,
所以cos 2α+sin 2α=
(舍去),
故tan(α-β)=.
故选B.
4.BD　∵sin αtan,
∴2sin,
∴2sin,
∵α,β均为第二象限角,∴,即cos α=2cos β+1.
若α=β,则cos β=2cos β+1,得cos β=-1,显然不成立,故A错误;
若α=2β,则由β∈,k∈Z,得α∈(π+4kπ,2π+4kπ),k∈Z,即α不为第二象限角,与已知矛盾,所以C错误;
由终边相同的角的概念结合上面的计算易知,可以出现α>β,α>2β的情况,故B,D正确.
故选BD.
5.答案　-3+2
解析　由已知得tan 2θ=,
解得tan θ=.
因为,
则.
方法技巧　化简求值时,若分子、分母不是齐次式,则应注意利用降幂或者升幂公式将分子、分母化为齐次式,当已知正切值时,一般要进行弦切互化.
6.答案　3
解析　f(θ)=+1,
∵θ∈,
∴f(θ)∈[0,3],即B=[0,3],
若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B A,
∴∴b-a≥3.故b-a的最小值为3.
7.解析　(1)f(x)=sin 2x
=sin 2x
=sin 2x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=.
令2kπ-(k∈Z),则kπ-(k∈Z),
又0≤x≤π,∴0≤x≤≤x≤π,
故f(x)在[0,π]上的增区间为.
(2)令g(x)=0,得f(x)=,
∴2x+(k∈Z),
则x=kπ+π(k∈Z),
又x∈[-2π,2π],∴k的值可取-2,-1,0,1,
对应的零点分别为-2π+,其和为-3π.
∴g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和为-3π.
8.解析　取BC的中点M,AD的中点N,连接OM,ON,如图.
由垂径定理可得OM⊥BC,ON⊥AD.
由题意得∠BOM=,∠AOD=π-2θ,
故AD=2AOsin=2cos θ,
则l=2+2×2sin+5,
因为0<θ<,
故当sin+5取得最大值,即观光道路的总长最大,最大总长为5 km.
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