2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--10.3 几个三角恒等式（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
10.3　几个三角恒等式
基础过关练
题组一　积化和差公式的应用
1.(2024辽宁抚顺六校协作体第三次模拟)已知函数f(x)=2sin,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的最小值为
2.已知α,β为锐角,且α-β=,那么sin αsin β的取值范围是　　　　.
3.(2022江苏常州联考)已知tan,则cos(α-β)的值为　　　　.
4.求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
题组二　和差化积公式的应用
5.(2024河南名校联盟教学质量检测)若sin(α+β)sin(α-β)=,则cos 2α-cos 2β=(　　)
A.
6.的值为(　　)
A.1+
7.(2024山东部分学校模拟)已知cos α+cos β=,则tan(α-β)的值为(　　)
A.-
8.(多选题)(2024四川成都树德中学段考)若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α,β∈(0,π),则下列结论中正确的是(　　)
A.α-β=-
C.tan
9.计算:cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=　　　　.
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若cos B+cos C=
sin B+sin C,且a,b,c均不相等,试判断△ABC的形状.
题组三　半角公式的应用
(2024河北张家口尚义一中等校开学联考)已知cos(π+θ)=
-=(　　)
A.
C.
12.(2024浙江湖州中学质检)已知sin 100°=a,则sin 95°等于(　　)
A.
C.2a2-1　　D.1-2a2
13.已知α是锐角,cos α==(　　)
A.
C.
14.(2024江苏无锡期末)已知sin θ=的值.
题组四　万能公式的应用
15.(2023江苏南京协同体七校期中联考)已知θ∈,则tan θ=(　　)
A.
C.
16.(2024江苏南通启东期初考试)已知sin=(　　)
A.-
17.(2024湖北高中名校联盟第二次联合测评)已知β∈,且
3sin α=sin(2β-α),则tan α的最大值为(　　)
A.-
18.(1)已知=-5,求3cos 2θ+4sin 2θ的值;
(2)已知sin αsin的值.
能力提升练
题组一　积化和差与和差化积公式的应用
1.(2024江苏苏州梁丰高级中学模拟)求值:=(　　)
A.
2.(2024九省联考模拟)已知角A,B,C满足A+B+C=π,且cos A+
cos B+cos C=1,则(1-cos A)·(1-cos B)(1-cos C)=(　　)
A.0　　B.1　　C.
(2022上海中学期中)已知x≥y≥z≥,则cos x·
sin y·cos z的最大值为　　　　　　.
4.(2023江苏盐城中学月考)已知tan γ=.　
(1)若α+β=,求tan γ的值;
(2)若α,β,γ都为锐角,求的最大值.
题组二　半角公式和万能公式的应用
5.已知450°<α<540°,则的化简结果是　(　　)
A.sin
6.已知0<θ<(m>0),则使得f(θ)有最大值的m的取值范围是(　　)
A.
7.(2024山东高中名校统一调研)已知△ABC的内角分别为A,B,C,且满足cos的最小值为　　　　.
8.化简:(1)+
;
(2)(0<α<π).
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　由积化和差公式可得f(x)=2sin,
所以f(x)的最小正周期为,所以A,D错误;
当-上不单调,B错误;
当x=对称,C正确.
故选C.
2.答案　
解析　∵α-β=,
∴sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-,
由α,β为锐角得0<β<,
∴-,
∴0<-.
故答案为.
3.答案　
解析　因为tan αtan β=
=,
所以cos(α-β)=-cos(α+β),
又cos(α+β)=.
4.解析　(1)sin 37.5°cos 7.5°
=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
=(sin 45°+sin 30°)
=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[cos 60°-cos(-40°)]
=.
规律总结　积化和差公式的功能与关键:
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式);②将角度化为特殊角来求值或化简;③将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数消掉,从而化为特殊角的三角函数.
5.D　解法一:cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×.故选D.
解法二:因为sin(α+β)sin(α-β)=,
即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=,
即cos2β-cos2α=.故选D.
6.B　
=1+cos
=1+2cos
=1+cos
=1+
=1+
=1+
=.故选B.
7.A　由和差化积公式,得cos α+cos β=2cos,
sin α-sin β=2cos.
所以tan(α-β)=tan.
故选A.
8.BC　因为sin α+sin β=(cos β-cos α),
所以2sin,
因为α,β∈(0,π),
所以,
从而sin,
所以.故选BC.
9.答案　-
解析　由和差化积和积化和差公式可得,
cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=2cos 120°cos 26°+2×.
10.解析　易知cos≠0,
∵cos B+cos C=sin B+sin C,
∴2cos,
两边同除以2cos,
故tan=1,
∵0即B+C=,∴△ABC为直角三角形.
易错警示　应用和差化积公式时要注意,只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式,若是一正弦与一余弦的和或差,则需先利用诱导公式将其化成同名函数后,再运用公式化成积的形式.
11.D　解法一:由cos(π+θ)=-,
因为θ是第四象限角,所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-所以tan.故选D.
解法二:由cos(π+θ)=-,
因为θ是第四象限角,所以sin θ=-,
所以tan.故选D.
12.B　∵sin 100°=a,∴cos 190°=cos(90°+100°)=-sin 100°=-a,
∴sin 95°=.故选B.
13.D　因为α是锐角,所以0<α<,
因为sin2,
所以cos.故选D.
14.解析　由sin2θ+cos2θ=1,得=1,解得m=0或m=8.
当m=0时,sin θ<0,不符合题意,舍去;
当m=8时,cos θ=-,
∴tan=5.
15.A　由万能公式得cos 2θ=,
所以3-3tan2θ=,　
又θ∈.故选A.
16.C　由sincos α,所以tan α=3,
则由万能公式得sin 2α=,
cos 2α=,
故sin.故选C.
17.B　由题得3sin α=sin 2βcos α-cos 2βsin α,
即(3+cos 2β)sin α=sin 2βcos α,
易知cos α≠0,3+cos 2β≠0,则.
因为β∈,所以tan β>0,
故tan α=.故选B.
18.解析　(1)∵=-5,
∴tan θ=2.
∴cos 2θ=,
∴3cos 2θ+4sin 2θ=-.
(2)由题得sin αsin,
易知cos α≠0,cos≠0,
所以tan α=3tan,
所以tan2α+2,
则tan,
故cos.
能力提升练
1.A　由积化和差公式可得,2sin 80°cos 20°=2×,
cos 40°cos 20°=cos 20°,
由和差化积公式可得,
cos 20°+cos 40°=2coscos 10°,
故1+4cos 20°sin250°=1+4cos 20°cos 40°cos 40°
=1+4cos 40°
=1+cos 40°+2cos 20°cos 40°
=1+cos 40°+2
=cos 10°,
所以.故选A.
2.A　A+B+C=π C=π-(A+B) cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B).
由和差化积公式得,
cos A+cos B+cos C=1 2cos.
所以cos=0.
若sin=1,则(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0;
同理,当sin=0时,都有(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.故选A.
3.答案　
解析　由x≥y≥z≥,所以sin(x-y)≥0,cos z>0,
所以cos x·sin y·cos z=cos z·
=
≤(cos2z+cos z·sin z)
=
≤时等号同时成立.
故答案为.
4.解析　(1)tan γ=.
因为α+β=.
(2)因为tan γ=tan,k∈Z,则2γ+2kπ=α+β,k∈Z,
又因为α,β,γ均为锐角,所以2γ=α+β,
则
=
=
≤=3,
(当cos(α-β)=1时,取最大值)
当且仅当即α=β=γ时,等号成立,
因此的最大值为3.
5.B　∵450°<α<540°,∴cos α<0,225°<<270°.
原式=
=
=.
又当225°<.
6.A　
思路分析　
解析　f(θ)=1+m+m·
=1+m-mtan,
令tan.
因为m>0,t>0,所以m(t+1)+,故选A.
7.答案　16
解析　由已知得cos=0,
所以sin=0,
所以3sin,
由题知≠0,
故3tan>0,
又sin A=,
=
所以=16,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为16.
8.解析　(1)∵π<α<,
∴sin<0,
∴原式=
=-
=-.
(2)∵tan·(1+cos α)=sin α.
又∵cos,
∴原式=
=-,
∵0<α<π,∴0<>0.
∴原式=-2.
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