2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--11.1 余弦定理（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第11章　解三角形
11.1　余弦定理
基础过关练
题组一　已知两边及其夹角解三角形
1.(2023江苏常州前黄高级中学阶段考试)在△ABC中,BC=4,AC=5,=10,则AB=(　　)
A.2
2.(2024湖北武汉部分重点中学期中联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则sin A等于(　　)
A.
C.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2=1,解此三角形.
题组二　已知三边(或三边关系)解三角形
4.(2024江苏盐城五校期中联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a∶b∶c=3∶4∶6,则cos A的值为(　　)
A.
5.边长分别为1,的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90°　　B.120°　　C.135°　　D.150°
6.(多选题)(2024江苏苏州昆山中学月考)已知某锐角三角形的三边长分别为2,7,m,则实数m的可能取值是(　　)
A.3
7.(2024江苏连云港高级中学期中)在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,则=　　　　.
8.(2024江苏宿迁宿豫中学第一次学情调研)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,求b,c.
题组三　已知两边及其中一边的对角解三角形
9.(2024江苏镇江中学学情检测)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　)
A.1　　B.　　D.3
10.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=,c=3,B=30°,解此三角形.
题组四　利用余弦定理判断三角形的形状
11.(2024山东菏泽鄄城第一中学月考)在△ABC中,sin2,则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形　　B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　D.等腰三角形
12.(2022江苏淮安楚州中学期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
13.(2022河南名校联盟诊断)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a2+b2+c2=2absin C,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　D.等边三角形
14.(2024湖北十四校协作体质量检测)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足an+bn=cn(n>2,n∈R),则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形　　B.直角三角形
C.锐角三角形　　D.无法确定
题组五　余弦定理的实际应用
15.(2023江苏统考)两艘游艇自某地同时出发,其中一艘游艇以10 km/h的速度向正北方向行驶,另一艘游艇以8 km/h的速度向北偏东θ(0°<θ<90°)的方向行驶.若经过30 min后,两艘游艇相距 km,则θ=(　　)
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.75°
16.(2024江苏连云港东海期中)现有一座高出海面的山,山顶P在海面上的投影为O,在O点的正东方向上有一航标A,某人在A处测得山顶P的仰角为30°,在O点的南偏东60°方向上另有一航标B,此人在B处测得山顶P的仰角为45°.若航标A,B间的距离为400米,则山的海拔为　　　　米.
17.(2023江苏盐城阶段练习)一次小孔成像实验如图所示,若物距∶像距=6∶1,OA=OB=12,cos∠A'OB'=,则像高为　　　　.
18.我舰在岛A南偏西50°方向相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向航行,若我舰以28 n mile/h的速度沿直线用1 h追上敌舰,则敌舰的航行速度为　　　n mile/h.
19.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为3 km和5 km,测得灯塔A在观测站C北偏西50°方向上,灯塔B在观测站C北偏东70°方向上,求两灯塔A,B之间的距离.
能力提升练
题组一　利用余弦定理解三角形
1.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A=,(a+b-c)(a+b+c)=ab,则tan B的值为(　　)
A.
2.(2024江苏张家港阶段性调研测试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos B=c-a.当取最小值时,A=(　　)
A.
3.(2024江苏无锡第一中学期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边AC的中点,c=1,BD=,则a=　　　　.　
题组二　余弦定理的综合应用
4.(2024江苏无锡太湖高级中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=c=4,A=120°,且点D满足)的值为(　　)
A.16　　B.8　　
C.-8　　D.-16
5.(多选题)(2024江苏南通如东期中)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,则(　　)
A.bcos A+acos B=
B.若|2<4
C.若C=,则△ABC周长的最大值为6
D.若C=,+∞)
6.(2023江苏宿迁泗阳中学阶段练习)在△ABC中,AB=3,AC=4,D,E为BC上两点,且BD=DE=EC,若AD=,则AE=　　　　.
7.(2024江苏连云港灌南两灌联考)如图,在平面四边形ABCD中,|.
(1)求线段AC的长度;
(2)求||2.
8.(2024江苏苏州大学附属中学高考新题型指导)已知在△ABC与△A'BC中,AB=AC,A与A'在直线BC的同侧,AB+AC=A'B+A'C,直线AC与直线A'B交于O.
(1)若AB=2,A'C=1,求sin A的取值范围;
(2)证明:OA>OA'.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　由题意得,
所以AB=
=.故选B.
2.C　由题意得cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=,
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=32+22-2×3×2×,
所以cos A=,
易知sin A>0,所以sin A=.故选C.
3.解析　由sin+2kπ,k∈Z,即B=+2kπ,k∈Z.又B为三角形的内角,∴B=.
则由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B
=(2
=12+(.
根据余弦定理得cos A=
=,
∵A∈(0,π),∴A=.
解题模板　已知两边及其夹角解三角形时,可先用余弦定理建立关于第三边的方程,求出第三边的长,再运用余弦定理求剩余两角中的任一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.
4.C　根据题意,不妨设a=3k,b=4k,c=6k,k>0,
由余弦定理,得cos A=.
故选C.
5.C　由三角形中大边对大角知长为的边所对的角既不是最大角,也不是最小角,
设长为,
∴θ=45°,
故三角形的最大角与最小角的和是180°-45°=135°.
6.BC　因为该三角形的三边长分别为2,7,m,所以2+m>7且2+7>m,得5设该三角形中长为7,m的边所对的角分别为α,β,显然长为2的边所对的角必为锐角,
又该三角形为锐角三角形,
所以由余弦定理得
即,
所以实数m的取值范围是(3),结合选项知B,C正确,A,D错误.故选BC.
7.答案　-9
解析　在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
由余弦定理,得cos B=,
∴=
-9.
8.解析　(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc,整理可得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由(1)及题意知cos A=,a=1.
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=2,所以1=4-3bc,
所以bc=1,所以b=c=1.
9.D　由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,
即19=4+BC2-2×2BC×,解得BC=3(负值舍去).故选D.
10.解析　由b2=a2+c2-2accos B,可得(.
当a=时,a=b,所以A=B=30°,C=120°;
当a=2=0,
所以A=90°,C=60°.
11.B　易得,则b=ccos A,
结合余弦定理,得b=c·,整理得a2+b2=c2,则C=90°,所以△ABC是直角三角形,无法判断该三角形是不是等腰三角形,故选B.
12.A　由,
可得a3-b3+ac2-bc2+ab(a-b)=(a-b)[(a+b)2+c2]=0,
∵(a+b)2+c2>0,∴a=b,
因此,△ABC为等腰三角形.
无法判断该三角形是不是直角三角形,故选A.
13.D　∵a2+b2+c2=2absin C,b2+a2-c2=2abcos C,
∴两式相加得2(a2+b2)=2ab(,
∴sin
=1,
∵C为△ABC的内角,∴C+,
又a=b,∴△ABC为等边三角形.故选D.
14.C　因为a>0,b>0,c>0,n>2,所以an>0,bn>0,cn>0,
又an+bn=cn,所以cn>an,cn>bn,所以c>a,c>b,
所以0<<1,C为△ABC的最大内角.
an+bn=cn(n>2,n∈R) =1
=1 a2+b2>c2
cos C=,
故△ABC为锐角三角形.故选C.
15.C　如图,设点A为出发点,点B为以10 km/h的速度行驶的游艇30 min后到达的位置,点C为以8 km/h的速度行驶的游艇30 min后到达的位置,则AB=5 km,AC=4 km,BC=,
又因为0°<θ<90°,所以θ=60°.故选C.
16.答案　400
解析　根据题意可作图如下:
由题意可得∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠AOB=30°,OP⊥OA,OP⊥OB,
设山的海拔为h米(h>0),则OA=h,OB=h,
在△AOB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB,
即160 000=3h2+h2-2×,解得h=400(舍负),即山的海拔为400米.
17.答案　
解析　由cos∠A'OB'=,
又OA=OB=12,
所以在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·
cos∠AOB=122+122-2×12×12×=81,所以AB=9,
又物距∶像距=6∶1,所以A'B'=.
18.答案　20
解析　设敌舰的航行速度为v n mile/h,我舰在C处追上敌舰,如图,
由题意得∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=v×1=v(n mile),BC=28×1=28(n mile),
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即122+v2-2×12×v×cos 120°=784,
解得v=20(v=-32舍去),
即敌舰的航行速度为20 n mile/h.
19.解析　依题意知△ABC中,AC=3,BC=5,∠ACB=120°.
由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB=32+52-2×3×5×
cos 120°=49,
∴AB=7,即两灯塔A,B之间的距离为7 km.
能力提升练
1.B　由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得a2+b2-c2=-ab,
由余弦定理,得cos C=,
因为0又sin A=,
所以tan B=tan [π-(A+C)]=-tan(A+C)=-.故选B.
2.B　由2acos B=c-a结合余弦定理,
得2a·-a,
所以,
当且仅当-a=a,
则cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=,故选B.
3.答案　
解析　在△ABD中,AB=1,BD=,
由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=1+2-2×1×=1,
所以AD=1,AC=2AD=2,
此时AB2+AD2=BD2,即AB⊥AD,
所以a=BC=.
4.C　因为,
在△ABC中,b=c=4,∠BAC=120°,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=16+16-2×4×4×=48,
所以a=4,
易得AD为BC边上的高,所以|=2,
故()2=4-12=-8.故选C.
5.BC　由余弦定理得bcos A+acos B=b·=c=2,故A错误;
若<0,
则a2+b2若C=,又c=2,故a2+b2=ab+4,
所以(a+b)2=3ab+4≤3×+4,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,
则△ABC的周长l=a+b+c≤4+2=6,所以△ABC周长的最大值为6,故C正确;
若C=tan A,
由A∈,故D错误.故选BC.
6.答案　
思路分析　
解析　在△ADB中,由余弦定理得cos∠ADB=,　
在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=.　
又∠ADC+∠ADB=π,∴cos∠ADC+cos∠ADB=0,
即=0.
又AB=3,AC=4,AD=
.
在△AEC中,由余弦定理得AE2=AC2+CE2-2AC·CE·cos C=16+.
7.解析　(1)解法一:由|,
因为0°<∠ABC<180°,所以∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以线段AC的长度为1.
解法二:已知|,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=1+1-2×1×1×=1,
所以AC=1,即线段AC的长度为1.
(2)设AD=x(x>0),
在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,　
即1=x2+1-2x·cos∠ADC,解得cos∠ADC=,
由(舍去),
所以AD2=AC2+CD2,即△ACD为等腰直角三角形且∠ACD=90°,
由(1)可得∠ACB=60°,所以∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=12+12-2×1×1×.
8.解析　(1)因为AB=AC=2,A'C=1,AB+AC=A'B+A'C,所以A'B=2AB-A'C=3,
设BC=a,则所以2在△ABC中,由余弦定理得cos A=证明:如图,不妨设A'在A的右边,连接AA',记∠OAA'=φ,
∠OA'A=θ,(在△OAA'中,要证明OA>OA',只需证明θ>φ)
设AB=AC=b,A'B=m,A'C=n,A'A=d,则m>b,2b=m+n,即b-n=m-b,
在△CAA'与△BAA'中,由余弦定理得cos φ-cos θ=
>0,
所以cos φ>cos θ,所以θ>φ,故OA>OA'.
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