2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--11.3 余弦定理、正弦定理的应用（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
11.3　余弦定理、正弦定理的应用
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2024天津重点校期中联考)一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2 km到达B地,然后由B地向南偏东30°方向骑行了2 km到达C地,再从C地向北偏东30°方向骑行了8 km到达D地,则A,D两地之间的距离为(　　)
A.2 km　　
C.2 km　　D.6 km
(2023山东潍坊期中)小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘边(如图所示),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且测得P1P2=a,
∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是(　　)
①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.
A.①和②　　B.①和③
C.②和③　　D.①和②和③
3.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,在河岸这边取点C,D,测得CD的长为12千米,在点C处测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,在点D处测得∠ADC=30°,
∠ADB=45°.则A,B两点间的距离为　　　千米.(设A,B,C,D四点在同一平面内)
题组二　高度问题
(2024江苏无锡第一中学期中)如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得
∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=37.9米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为(参考数据:≈2.4,tan 64°≈2.0,
cos 37°≈0.8)(　　)
A.40米　　B.14米　　C.48米　　D.52米
5.如图,某同学为了估算学校天文台的高度,在它与宿舍楼之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得学校宿舍楼楼顶A,天文台台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台台顶C的仰角为30°,已知楼AB的高为(15-5)m,假设AB,CD和点M在同一平面内,则估算学校天文台的高度为(　　)
A.20 m　　B.30 m　　C.20 m
6.(2024广东广州华南师范大学附属中学期中)某校开展数学建模活动,一建模课题组的学生选择测量某山峰的高度并设计了测量方案.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为45°(即∠PAQ=45°),沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点,在B处测得山顶P的仰角为60°(即∠PBC=60°),则山高PQ为(A,B,P,Q,C在同一个平面内)(　　)
A.45()米
C.90(+1)米
题组三　角度问题
7.(2024山东新泰第一中学模拟)某公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在公路上的点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60米到点B处,测得楼顶的仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sin θ=(　　)
A.
8.(多选题)(2023河北石家庄期末)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离它12海里处,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时,再看灯塔B在其南偏东60°方向上,则下面结论正确的有(　　)
A.AD=24海里
B.CD=12海里
C.∠CDA=60°或∠CDA=120°
D.∠CDA=60°
9.(2024广东广州第二中学等六校联考)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向,相距12千米的水面上,有一艘蓝方的小艇B正以每小时10千米的速度沿南偏东75°方向前进,然后侦察艇A迅速以每小时14千米的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇B.若要在最短的时间内拦截住,则红方侦察艇A所需的时间为　　　　小时,角α的正弦值为　　　　.
10.(2023江苏连云港海头高级中学期末)如图,设A,B是海岸线相距(15
　
能力提升练
题组　正、余弦定理的实际应用
1.(2024湖南衡阳三校联考)图1所示的是清风楼,位于河北省邢台市,始建于唐、宋年间,是邢台市地标性建筑之一,也是邢台历史人文的一个缩影.某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度,在与楼底O位于同一水平面的A,B,C三处进行测量,如图2.已知在A处测得楼顶P的仰角为30°,在B处测得楼顶P的仰角为45°,在C处测得楼顶P的仰角为60°,BC=AB=22米,则可得清风楼的高度OP=(　　)
　
A.22米　　C.11米
(2023陕西咸阳中学质检)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,若A'B'=2,
cos∠ABB'=,则AB=(　　)
　
A.5　　B.6　　C.7　　D.8
3.(2024江苏淮安马坝高级中学质检)《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期的画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观赏视角θ最大,x应为(　　)
A.77　　B.80　　C.100　　D.77
(2022湖北襄阳三中月考)海洋蓝洞是地球上罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞口边A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=
∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　.(设A,B,C,D四点在同一平面内)
5.(2024北京十一学校期中)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D分别为两岛上的两座灯塔的塔顶.某测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=1 km,则B,D之间的距离为　　　　km.
6.为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图).能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
7.(2024浙江精诚联盟联考)如图所示,A,B是在沿海海面上相距(15+5
海里.
(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所A的距离;
(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里 在缉私艇的北偏东多少度方向上
(3)若缉私艇得知走私船以10海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃窜,立即以30海里/时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　根据题意画出图形,如图:
则∠ABC=120°,∠BCD=60°,AB=BC=2,CD=8,
所以∠ACB=30°,所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,
在Rt△ACD中,AD=,
即A,D两地之间的距离为2 km.故选A.
2.D　在△P1P2D中,由三角形内角和定理可求出∠P1DP2的大小,进而可由正弦定理求得DP1和DP2的长.
若选条件①,则在△CDP1中已知两角和其中一角的对边,可由正弦定理求出CD的长;
若选条件②,由三角形内角和定理可求出∠P2P1C的大小,由正弦定理可以求出CP2的长,由α-∠P1P2C得到∠CP2D的大小,则在△CDP2中已知两边及其夹角,运用余弦定理即可求出CD的长.
若选条件③,在△CDP1中已知两角和其中一角的对边,用正弦定理即可求出CD的长.故选D.
3.答案　4
解析　在△ADC中,∠CAD=180°-120°-30°=30°=∠ADC,所以AC=CD=12.
在△BCD中,∠CBD=180°-(120°-75°)-45°-30°=60°,
由正弦定理得,sin 75°.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 75°=144+192sin275°-24×8sin 75°cos 75°
=144+192×sin 150°=240,
所以AB=4千米.
4.C　在△CDB中,∠CBD=180°-37°-68°=75°,
则sin∠CBD=sin 75°=sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=,
sin∠CDB=sin 37°=≈0.6,
由正弦定理得,　
在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=≈48,
所以该铁塔的高度约为48米.故选C.
5.B　因为AB=(15-5(m),
在△AMC中,∠AMC=180°-60°-15°=105°,∠CAM=30°+15°=45°,所以∠ACM=180°-105°-45°=30°,
由,
所以CM=(m),
所以CD=CMsin 60°=20=30(m).故选B.
6.B　依题意得,∠PAB=45°-15°=30°,∠APQ=45°,
因为∠PBC=60°,所以∠BPC=30°,则∠APB=15°,∠ABP=135°.
在△ABP中,AB=90,由正弦定理得,　
又sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=,
故AP=.
在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=)米.故选B.
7.A　如图所示,D表示楼顶,E表示楼底.
由题意得DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°,∠DCE=θ,
则AE=BE=60,故∠EAB=60°,
在△ACE中,由余弦定理得EC=,
在Rt△CDE中,DC==120,
则sin θ=sin∠DCE=.故选A.
8.ABD　如图,在△ABD中,∠B=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得=24(海里),故A正确;
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·
cos 30°=(12=144,
所以CD=12海里,故B正确;
在△ACD中,由正弦定理得,
所以sin∠CDA=,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,
因为AC9.答案　2;
解析　设红方侦察艇A经过x小时后在C处追上蓝方小艇B,则AC=14x千米,BC=10x千米,∠ABC=120°.
在△ABC中,由余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240x·cos 120°,解得x=2(舍负),
故AC=28千米,BC=20千米.
在△ABC中,由正弦定理得.
10.解析　在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=15°,所以∠ACB=120°,
又AB=(15)n mile,
所以由正弦定理得BC=+10)
n mile,
若从B处派救援船,则救援时间为(h).
在△ABC中,由正弦定理得AC==10
(n mile),
若从A处派救援船,假设救援船与渔轮在D处相遇,救援时间为t h,则AD=21t n mile,DC=9t n mile.
在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2AC·DC·cos∠ACB,
即(21t)2=102+(9t)2-2×10×9t×cos 120°,整理得36t2-9t-10=0,
解得t=(负值舍去).
因为,所以应该从A处派救援船.
在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=,
故∠CAD≈21.8°,∠BAD=45°-21.8°=23.2°.
故从A处派救援船,且救援船应该沿着与海岸线AB成23.2°角的方向以最快速度前去救援.
能力提升练
1.B　由题意可知,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠OCP=60°,
设OP=h米,
则在Rt△AOP中,OA=h,
在Rt△BOP中,OB==h,
在Rt△COP中,OC=h,
在△AOB中,由余弦定理可得OB2=OA2+AB2-2OA·ABcos∠OAB,
即h2=3h2+222-2×h×22cos∠OAB,
得cos∠OAB=,
在△AOC中,由余弦定理可得OC2=OA2+AC2-2OA·ACcos∠OAC,
即h×44cos∠OAC,
得cos∠OAC=,
解得h=11(舍负).故选B.
2.C　因为cos∠ABB'=,
所以sin∠ABB'=,
又∠A'B'C'=60°,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin 60°cos∠ABB'-cos 60°sin∠ABB'=,
在△ABB'中,设BB'=t,则AB'=t+2,
由正弦定理得,解得t=3,
所以BB'=3,AB'=5,
在△ABB'中,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'·cos∠AB'B=49,所以AB=7.故选C.
3.D　如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.
∵TC=15 cm,
∴C到地面的距离为175-15=160(cm),
∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm).
由图易得,BC=(cm),
AC=(cm),
在△ABC中,由余弦定理得cos θ=
=
=
≥,
当且仅当时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ最大.故选D.
4.答案　80
解析　由已知得,在△ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,
所以∠DAC=15°,
由正弦定理得AC=).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,
由正弦定理得BC=).
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1 600×(8+4.
5.答案　
解析　依题意,在△ACD中,∠CAD=30°,∠ACD=120°,则∠ADC=30°,则CD=AC=1,
AD=2·ACcos 30°=.
在△ABC中,∠BAC=105°,∠ACB=60°,则∠ABC=15°,
又sin 15°=sin(45°-30°)=,
故由正弦定理得AB=.
在△ABD中,∠BAD=75°,由余弦定理得BD= km.
6.解析　方案一:①需要测量的数据为从点A观察点M,N的俯角α1,β1,从点B观察点M,N的俯角α2,β2,A,B间的距离d(如图).
②第一步:计算AM,在△ABM中,由正弦定理,得AM=;　
第二步:计算AN,在△ABN中,由正弦定理,得AN=;
第三步:计算MN,在△AMN中,由余弦定理,得
MN=.
方案二:①需要测量的数据为从点A观察点M,N的俯角α1,β1,从点B观察点M,N的俯角α2,β2,A,B间的距离d(同方案一中的图).
②第一步:计算BM,在△ABM中,由正弦定理,得BM=;　
第二步:计算BN,在△ABN中,由正弦定理,得BN=;
第三步:计算MN,在△BMN中,由余弦定理,得
MN=.
7.解析　(1)依题意,在△ABC中,AB=15+5,
∠ABC=45°,∠BAC=30°,则∠ACB=105°,
由正弦定理得,
所以AC=.
故走私船与哨所A的距离为10海里.
(2)在△ACD中,AC=10,∠CAD=60°,
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD
=(10=900,
所以CD=30.
在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=,
又0°<∠ADC<180°,所以∠ADC=30°.
故走私船距离缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东60°方向上.
(3)设t小时后缉私艇在M点处追上走私船,
则CM=10t海里,DM=30t海里,
由(2)得∠DCA=90°,则∠DCM=90°+30°+15°=135°,
在△CDM中,由余弦定理得DM2=CM2+CD2-2CM·CDcos∠DCM,
即900t2=300t2+900-2×10(舍负),
故缉私艇至少需要小时才能追上走私船.
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