2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--12.3 复数的几何意义（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
12.3　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数的几何意义
1.(2024江苏扬州中学期中)已知复数z=,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A.(0,-1)　　B.(0,1)　　C.(-1,0)　　D.(1,0)
2.(2023江苏南京第十三中学期末)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是对应的点位于(　　)
A.第一象限　　
B.第二象限
C.第三象限　　
D.第四象限
3.(2024江苏常州教育学会学业水平监测)在复平面内,复数z1,z2对应的两个点关于虚轴对称,已知z1=1+i,则z1z2=(　　)
A.-2　　B.2　　C.-2-i　　D.-2+i
4.(2024江苏姜堰中学阶段性测试)在复平面内,表示复数的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,1)　　B.(0,1)　　
C.(1,+∞)　　D.(0,+∞)
题组二　复数的模及其应用
5.(2024江苏镇江中学期中)复数z(1+i)=1-i,则||=(　　)
A.1　　B.2　　C.
6.(2024江苏泰州兴化期中)已知z∈C,若|z(3+4i)|=5,则|z|=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
7.(多选题)(2024江苏南京河西外国语学校期中)
若复数z满足|z|=|z-1|=1,且它在复平面内对应的点在第一象限内,则下列说法正确的是(　　)
A.复数z的虚部为
B.i
C.z2=z-1
D.复数z的共轭复数为-i
8.(2023江苏南京第一中学开学考试)在复平面内满足条件|z-2i|+|z+1|=的复数z所对应的点的集合是(　　)
A.射线　　B.直线　　C.线段　　D.圆
题组三　复数加减法的几何意义
9.(2024江苏连云港东海期中)复数6+5i与-3+4i分别表示向量的复数为(　　)
A.3+9i　　B.-9-i　　C.9+i　　D.-18+20i
10.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　)
A.等腰三角形　　B.直角三角形
C.等边三角形　　D.等腰直角三角形
11.(2024河南信阳高级中学月考)已知a∈R,复数z1=a2-2+(a+2)i,z2=a+(a2+a-2)i分别对应向量(O为坐标原点).
(1)若向量表示的复数对应的点位于第二象限,求a的取值范围;
(2)若向量表示的复数为纯虚数,求a的值.
能力提升练
题组一　复数的几何意义
1.(2023江西景德镇一中期末)已知O为坐标原点,复数2+i与复数在复平面内的对应点分别是A,B,则∠AOB等于(　　)
A.　　C.
2.(多选题)(2023江苏常州统考)已知z为复数,设z,,iz在复平面内对应的点分别为A,B,C,且O为坐标原点,则(　　)
A.|
C.|
3.(2024江苏苏州中学调研)已知O为坐标原点,向量+(2a-5)i,其中a∈R,+z2是实数.
(1)求实数a的值;
(2)求以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.
题组二　复数的模及其应用
4.(2024吉林长春吉大附中实验学校开学考试)已知复数z满足|z-2-4i|=1,当z的虚部取最小值时,z=(　　)
A.2+3i　　B.2-3i　　C.-3+5i　　D.-3+3i
5.(2024山东枣庄三调)已知复数z1,z2,且z1≠z2,若z1,z2同时满足|z|=1和|z-1|=|z-i|,则|z1-z2|=(　　)
A.1　　B.
6.(多选题)(2024江苏张家港阶段性调研测试)已知z1,z2∈C,则下列结论正确的有(　　)
A.若z=z1z2,则|z|=|z1||z2|
B.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
C.若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1·z2=0
D.若|z1-i|=1,则|z1+i|的最大值为3
7.(2022重庆南开中学月考)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.
8.设z=a+bi(a,b∈R,|a|≠1),|z|=1,+2|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　因为z==i,所以z在复平面内对应的点的坐标为(0,1).故选B.
2.C　由复数的几何意义知z1=2+i,z2=-1+i,
则i,
其对应的点的坐标为,位于第三象限,
故选C.
3.A　因为复数z1,z2对应的两个点关于虚轴对称,z1=1+i,所以z2=-1+i,所以z1z2=(1+i)(-1+i)=-2.
故选A.
4.B　i,
所以该复数在复平面内对应的点的坐标为
,　
又该点位于第二象限,所以解得0即实数m的取值范围为(0,1).故选B.
5.A　由已知可得z==-i,
所以|=1,故选A.
6.A　解法一:设z=a+bi(a,b∈R),则z(3+4i)=(a+bi)(3+4i)=3a+4ai+3bi-4b=3a-4b+(4a+3b)i,
因为|z(3+4i)|=5,所以(3a-4b)2+(4a+3b)2=25,化简得a2+b2=1,所以|z|==1.故选A.
解法二:|z(3+4i)|=|z||3+4i|=5|z|=5,所以|z|=1.
故选A.
7.BC　设z=a+bi(a>0,b>0),
由|z|=|z-1|=1,得(舍去),
所以z=,故A错误;
i,故B正确;
z2=i-1=z-1,故C正确;
复数z的共轭复数i,故D错误.故选BC.
8.C　设z=x+yi(x,y∈R),由|z-2i|+|z+1|=
,所以复数z在复平面内对应的点的集合为线段,故选C.
9.C　因为复数6+5i与-3+4i分别表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i.故选C.
10.B　由题知,复数z1对应向量,
则|z1+z2|=||,
依题意有||,
所以以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形,
又||不一定相等,
所以△AOB一定是直角三角形.故选B.
11.解析　(1)向量对应的复数为z1+z2=a2-2+(a+2)i+a+(a2+a-2)i=(a2+a-2)+(a2+2a)i,
因为其对应的点位于第二象限,所以
解得0(2)向量解得a=-1.
能力提升练
1.B　∵复数=3-i,
∴复数在复平面内对应的点是B(3,-1).
易知复数2+i在复平面内对应的点是A(2,1),
∴=2×3+1×(-1)=5,
又|,
∴cos∠AOB=5,
∴cos∠AOB=.
故选B.
AB　设z=a+bi(a,b∈R),则A(a,b),=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,∴B(a,
-b),C(-b,a),
∴=(-b-a,a+b).
对于A,∵|,故A正确;
对于B,∵,故B正确;
对于C,∵|
|不一定成立,故C错误;
对于D,∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2可以为零,也可以不为零,∴,故D错误.故选AB.
3.解析　(1)由题意可得-(10-a2)i,
又z2=+(2a-5)i,
∴+(a2+2a-15)i.
∵复数解得a=3.
(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,
则点Z1,Z2(-1,1),
因此,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=2×.
4.A　设z=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i,
则|z-2-4i|==1,即(x-2)2+(y-4)2=1,
所以(y-4)2≤1,可得-1≤y-4≤1,解得3≤y≤5,
当z的虚部取最小值,即y=3时,由(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2(二重根),故此时z=2+3i,故选A.
5.C　设z=x+yi(x,y∈R),则z-1=(x-1)+yi,z-i=x+(y-1)i,
由|z|=1和|z-1|=|z-i|,
得x2+y2=1且(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,
即x2+y2=1且x=y,解得
所以z1=
i,
所以|z1-z2|==2.故选C.
6.AD　设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
对于A,若z=z1z2,则有z=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,
则|z|=,
|z1||z2|=,
即有|z|=|z1||z2|,故A正确;
对于B,若|z1|=|z2|,则有,即a2+b2=c2+d2,不能得到z1=±z2,故B错误;
对于C,若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,
则有,
即(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,化简得ac+bd=0,
而z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,故C错误;
对于D,若|z1-i|=1,则有=1,则a2+b2-2b=0,且(b-1)2≤1,故0≤b≤2,
则|z1+i|=,0≤b≤2,
故当b=2时,|z1+i|有最大值,且最大值为=3,故D正确.故选AD.
7.答案　1;
解析　由复数的几何意义知复数z在复平面内对应的点Z到点(0,1)和点(0,-1)的距离之和为2,即点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上.易知|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.画出图形如图所示,可知|z+1+i|的最小值为1,最大值为.
8.解析　∵|z|=1,∴a2+b2=1.
∵z+2+2=a+bi+2(a-bi)+2=3a+2-bi,
∴|z+2+2|2=(3a+2)2+(-b)2=9a2+12a+4+b2
=8a2+12a+5=8.
∵b2=1-a2≥0,∴-1≤a≤1.∵|a|≠1,∴-1∴|z+2,
因此,|z+2.
易错警示　本题在求取值范围时,除了要利用二次函数的性质外,还需要注意参数a的取值范围,其限定了所求的二次函数在某个区间上的值域.
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