2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--12.4 复数的三角形式（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
12.4　复数的三角形式
基础过关练
题组一　复数的三角形式
1.下列结论中正确的是(　　)
A.复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍
B.任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个
C.实数0不能写成三角形式
D.复数0的辐角主值是0
2.(2024福建泉州月考)复数z=-sin的辐角主值为(　　)
A.
3.(2023江苏苏州期中)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e=2.718 28…)是由18世纪的瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的,被誉为数学上优美的公式.已知i,则cos θ=(　　)
A.-
4.若复数z满足,则z的代数形式是z=　　　　.
5.把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.
(1)6;(2)1+i;(3)1-i.
题组二　复数三角形式的乘除运算及其几何意义
6.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在复平面内,常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量进行一一对应.现把与复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,那么所得的向量对应的复数为(　　)
A.-2+i　　B.-2-i　　C.2+i　　D.2-i
7.设复数z满足arg z∈在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
8.(多选题)(2024江苏南通如皋教学质量调研)在复平面内,,O是坐标原点,则z2可能是(　　)
A.-i　　
C.i
9.(2024江苏扬州月考)计算下列各式的值:
(1)8;
(2).
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　对于A,复数0的辐角为任意值,其两个辐角之差不一定为2π的整数倍,A错误;
对于B,任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个,B正确;
对于C,0×(cos θ+isin θ)=0(θ∈R),故实数0能写成三角形式,C错误;
对于D,复数0的辐角主值不唯一,D错误.故选B.
2.C　因为-sin.故选C.
易错警示　辐角主值的取值范围是[0,2π).
3.A　∵eiθ=cos θ+isin θ,
∴i,
∴+2kπ,k∈Z,
即θ=+2kπ,k∈Z,
∴cos θ=cos,k∈Z.故选A.
4.答案　1+i
解析　设,
∴z0=i,
∴i.
5.解析　设所给复数的模为r,辐角主值为θ.
(1)6对应的向量如图①中,
∵r=6,cos θ=1,sin θ=0,θ∈[0,2π),
∴θ=0,∴6=6(cos 0+isin 0).
(2)1+i对应的向量如图②中,
∵r=,
∴1+i=.
(3)1-,
∵r=,θ∈[0,2π),
∴θ=,
∴1-.
(4)-,
∵r=1,cos θ=-,θ∈[0,2π),
∴θ=.
　
　
解题模板　将复数的代数形式转化为三角形式的步骤:(1)求模;(2)确定辐角主值;(3)写出三角形式.
6.A　复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为(1+2i)(cos 90°+isin 90°)=i(1+2i)=i+2i2=-2+i,故选A.
7.D　设z=r(cos θ+isin θ),
则z2=r2(cos 2θ+isin 2θ),所以(cos 2θ+isin 2θ).
因为θ∈,
所以cos 2θ>0,sin 2θ<0,
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选D.
8.AC　z1=i,
或z2=i,故选AC.
解析　(1)8=8(cos π+
isin π)=8×(-1)=-8.
(2).
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