2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台
1.(2024江苏无锡阶段测试)关于下列几何体说法正确的是(　　)
A.图①是圆柱　　
B.图②和图③是圆锥
C.图④和图⑤是圆台　　
D.图⑤是圆台
2.(2024黑龙江大庆实验中学期中)下列命题中正确的是(　　)
①直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线;
③圆台的两个底面平行.
A.①②　　B.②　　C.③　　D.①③
3.(2024天津河西期中)下列说法正确的是(　　)
A.用一个平面去截圆柱,所得截面一定是圆形或矩形
B.用一个平面去截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台
C.用一个平面截一个圆台,得到的截面可以是一个梯形
D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
4.(2023江苏盐城中学开学考试)已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为4,3(边缘忽略不计),母线长为4,则该花盆的高为(　　)
A.
题组二　球
5.(2023广东深圳南科大附中期中)下面空间图形的截面一定是圆面的是(　　)
A.圆台　　B.球　　C.圆柱　　D.圆锥
6.下列说法中正确的是(　　)
A.球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B.球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C.用一个平面截球,得到的截面可以是正方形
D.球不可以用表示球心的字母表示
7.(2024河南新乡模拟)已知球O的半径为5,点A到球心O的距离为3,则过点A的平面α被球O所截得的截面面积的最小值是(　　)
A.9π　　B.12π　　C.16π　　D.20π
题组三　简单空间图形的结构特征
8.(2023全国专题练习)下列平面图形中,绕轴旋转一周可得到如图所示的空间图形的是(　　)
9.(2024福建永春第三中学等校期中联考)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈,说明所得几何体的结构特征.
能力提升练
题组一　与圆柱、圆锥、圆台和球有关的计算
1.(2024福建莆田第五中学期中)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何 ”其意思为:“有一圆木长为2丈,圆周长为3尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木7周,顶部刚好与圆木平齐,问葛藤长为多少 ”若1丈=10尺,则葛藤最少长(　　)
A.21尺　　B.25尺　　C.29尺　　D.33尺
2.(2023江苏南京一模)某圆锥的母线长为2,底面半径为,用过该圆锥顶点的平面截此圆锥,则所得截面面积的最大值为(　　)
A.2　　B.　　D.1
3.(2024安徽合肥第一中学期中联考)某圆台的上底面半径为2 cm,下底面半径为4 cm,母线AB=8 cm,A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M拉一条绳子,绕圆台侧面一周到B点,则绳子的最短长度为(　　)
A.10 cm　　B.12 cm　　C.16 cm　　D.20 cm
4.(2023江苏镇江扬中第二高级中学期末)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的半径是　　　　.
5.若球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,球的半径为3,则两个平行截面间的距离为　　　.
题组二　空间图形的应用
6.(2023北京丰台十二中月考)如图所示,几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是(　　)
A.(1)(2)　　B.(1)(3)
C.(1)(4)　　D.(1)(5)
7.()如图所示,已知空间图形的底座为一个长方体,凸起部分由一个小长方体和一个半圆柱组成,一只小蚂蚁从A点出发,沿几何体表面爬行,首先到达C点,然后沿凸起部分的表面到达B点,则小蚂蚁走过的最短路程为(　　)
A.4+22+10π
C.4+42　　D.122+10π
8.(2023江苏宿迁修远中学期末)如图,已知圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,底面圆O的直径为2,点C在圆O上,且BC=,E为线段PB上异于P,B的点,则CE+OE的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　题图①的上、下底面既不平行又不全等,不是圆柱,故A错误;题图②和题图③的母线长不相等,不是圆锥,故B错误;题图④的上、下底面不平行,不是圆台,故C错误;题图⑤的上、下底面平行,母线延长后交于一点且母线长均相等,是圆台,故D正确.故选D.
2.C　对于①,直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,故①错误;根据圆柱的母线定义可知②错误;根据圆台的定义知圆台的两个底面平行,故③正确.故选C.
3.C　对于A,用一个不平行于底面的平面去截圆柱,所得截面可能既不是圆形也不是矩形,故A错误;
对于B,用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫作圆台,故B错误;
对于C,当平面沿圆台的轴去截圆台时,截面为等腰梯形,故C正确;
对于D,过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长l,
设该等腰三角形的顶角为θ,则截面三角形的面积S=时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故D错误.
故选C.
4.B　设花盆的盆口与盆底的半径分别为R,r,母线长与高分别为l,h,
∵R=2,r=,l=4,
∴h=.
故选B.
5.B　球的截面一定是圆面.
6.A　根据球的定义知A正确;球的直径必过球心,故B错误;球的任何截面都是圆面,故C错误;球常用表示球心的字母表示,故D错误.
7.C　由点A到球心O的距离为3,得球心O到过点A的平面α距离的最大值为3,
因此过点A的平面α被球O所截得的截面圆的半径的最小值为=4,
所以截面面积的最小值是42π=16π.故选C.
8.A　题图中的空间图形的上半部分为一个圆锥,下半部分为一个圆台.结合选项知A正确.
9.解析　根据题意知,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后,所得几何体为上半部分是圆锥,下半部分是圆柱挖去一个半球体的组合体.
能力提升练
1.C　根据题意可画出如下图形(每个小矩形为圆木的侧面展开图):
由题知大矩形的高(即圆木长)为20尺,大矩形的长为7×3=21(尺),因此葛藤最少长=29(尺).
故选C.
2.A　如图所示,过圆锥顶点的截面为△SMN,P为MN的中点,则SP⊥MN,设OP=x(0在Rt△SOB中,由勾股定理得SO=1,在Rt△SPO中,由勾股定理得SP=,
故S△SMN=,
当x=1时,S△SMN取得最大值,为2.故选A.
3.D　根据题意,画出圆台的侧面展开图,如图所示,
将其还原成圆锥的侧面展开图,设扇形所在圆的圆心为O,
由图可知,所求的最短长度是MB'的长度,
设OA=R cm,扇形的圆心角为α,
则由题意知,4π=αR①,8π=α(8+R)②,
由①②解得α=,R=8,
所以OM=12 cm,OB'=16 cm,则MB'==20(cm),即绳子的最短长度为20 cm.
故选D.
4.答案　4
解析　设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,
因为4π=2πr,所以r=2,
由题意,知R2=r2+)2)2=16,解得R=4(负值舍去).
5.答案　1或3
思路点拨　画出球的轴截面,及两平行截面的直径,本题要考虑两个平行截面在球心的同侧和异侧两种情况,最后利用平面几何的知识求解.
解析　由题意可得两个截面圆的半径分别为.
①当两平行截面在球心的同侧时,球的轴截面如图所示,O1,O2为两截面圆的圆心,则BO2=,且OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.
在△OAO1中,OO1==1,
在△OO2B中,OO2==2,
∴两个平行截面间的距离O1O2=2-1=1.
②当两平行截面在球心的两侧时,球的轴截面如图所示,
同①得,OO1==2,
∴两个平行截面间的距离O1O2=1+2=3.
综上所述,两个平行截面间的距离为1或3.
6.D　题图中的几何体被一个竖直的平面所截后,与圆柱对应的截面轮廓是矩形除去一条边,与圆锥对应的截面轮廓是三角形除去一条边(当为轴截面时)或抛物线的一部分(当不为轴截面时),故选D.
7.A　将A点所在的侧面沿交线展开,如图①所示,则A到C的路程最短为
AC=(另一种展开方式的长度与比相等),
如图②所示,C到B的路程最短为BC=,
故小蚂蚁走过的最短路程为4.
故选A.
　
8.答案　
解析　将△PBC沿PB翻折至△PBC'的位置,使得△PBC'在平面PAB上,如图所示,易得CE+OE的最小值为C'O的长,此时C',E,O三点共线.
由题意可得OB=OP=1,故BP=,
又PC'=PB,BC'=,
故△PC'B为等边三角形,根据对称性易得OC'⊥PB,设垂足为E.
则C'O=OE+EC'=.
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