2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--13.2.2 空间两条直线的位置关系（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
13.2.2　空间两条直线的位置关系
基础过关练
题组一　空间两条直线的位置关系
1.(2023江苏镇江中学期中)若a,b为两条异面直线,α,β为两个平面,a α,b β,α∩β=l,则下列结论中正确的是(　　)
A.l至少与a,b中的一条相交
B.l至多与a,b中的一条相交
C.l至少与a,b中的一条平行
D.l必与a,b中的一条相交,一条平行
2.如图,已知直线a,b是异面直线,直线c,d分别与a,b都相交,则关于直线c,d的位置关系的说法正确的是(　　)
A.可能是平行直线
B.一定是异面直线
C.可能是相交直线
D.平行、相交、异面都有可能
3.(2024北京交通大学附属中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是　　　　.
①DD1;②AC;③AD1;④B1C.
题组二　基本事实4及等角定理
4.(2024河南洛阳第二高级中学月考)下列命题中,真命题有(　　)
①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等;
②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
③分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线互相平行;
④若∠AOB=30°,A'O'∥AO,B'O'∥BO,则∠A'O'B'=30°或150°.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
5.(2024河南郑州第一中学期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中点分别为E,F,G,H,则下列直线中,与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线是(　　)
A.GH　　B.EH　　C.EG　　D.FH
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:
(1)D1E∥BF;
(2)∠B1BF=∠A1ED1.
题组三　异面直线所成的角
7.(2024江苏扬州中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BD的中点,则直线B1E与A1D所成的角为(　　)
A.30°　　B.60°　　
C.120°　　D.150°
8.(2024安徽示范高中培优联盟联考)已知两条异面直线a,b所成的角为70°,若过空间内一定点的直线l和a,b所成的角均为60°,则这样的直线l有(　　)
A.2条　　B.3条　　
C.4条　　D.5条
9.(2024江苏连云港高级中学月考)如图,空间四边形OABC的所有边长为1,D,E分别是边OA,BC的中点,则OC与DE所成的角为　　　　.
能力提升练
题组一　空间中两条直线的位置关系
1.(2024青海部分学校联考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N,G,H分别为棱AB,BC,AD,CD,A1B1,C1D1的中点,P为DH的中点,连接EH,FG.对于空间任意两点I,J,若线段IJ上没有也在线段EH,FG上的点,则称I,J两点“可视”,则与点B1“可视”的点为　(　　)
A.D　　B.P　　
C.M　　D.N
2.(2023河北沧衡八校联盟期中,)一个四棱锥P-ABCD的平面展开图如图所示,其中E,F,M,N,Q分别为P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中点,关于该四棱锥,现有下列四个结论:
①直线AF与直线BQ是异面直线;
②直线BE与直线MN是异面直线;
③直线BQ与直线MN共面;
④直线BE与直线AF是异面直线.
其中正确结论的个数为(　　)
A.4　　B.3　　C.2　　D.1
3.(2022山西怀仁一中期中)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”,红蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→…,黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→…,它们爬行都依照如下规则:所爬行的第(n+2)段与第n段所在直线必须是异面直线.设红、黑两只蚂蚁走完2 023段后各停止在正方体的某个顶点处,这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少
题组二　异面直线所成的角
4.(2024江苏南通质量监测)在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,∠AOM=30°,则异面直线OM与AP所成角的余弦值为(　　)
A. C.
5.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
A.
6.(2024江苏徐州中学月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D,E分别是A1B1,CC1的中点,则异面直线BD与AE所成角的余弦值为(　　)
A.
7.(2022江苏宿迁沭阳修远中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CD1,AB的中点,则异面直线EF与AD1所成角的余弦值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　若l与a,b都平行,则a∥b,这与a,b为异面直线矛盾,故l至少与直线a,b中的一条相交.故选A.
2.B　设c与a,b的交点分别为A,B,d与a,b的交点分别为C,D,
若c,d是平行直线,则存在平面α,使得c α,d α,
∵A∈c,B∈c,C∈d,D∈d,
∴A∈α,B∈α,C∈α,D∈α,
又A∈a,C∈a,B∈b,D∈b,
∴a α,b α,∴a,b共面,与a,b是异面直线矛盾,
∴c,d不可能是平行直线,故A错误;
当c,d相交时也可以确定一个平面,使得直线a,b共面,与题目矛盾,
故c,d一定是异面直线.故选B.
3.答案　②
解析　由正方体的性质知,当P为A1C1的中点时,P∈B1D1,因为DD1∥BB1,所以B,D,D1,B1四点共面,
则BP,DD1都在平面BDD1B1上,故①不符合题意;
因为AA1∥CC1,所以A,C,C1,A1四点共面,易知P∈平面ACC1A1,B 平面ACC1A1,P AC,所以BP与AC异面,故②符合题意;
当P与C1重合时,因为AB∥D1C1,AB=D1C1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,
所以AD1∥BP,故③不符合题意;
当P与C1重合时,显然B1C与BP相交,故④不符合题意.
4.B　由等角定理知,①④正确;
对于②,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
对于∠ABC和∠BB1C,显然有AB⊥B1C,BC⊥B1B,
但是∠ABC=90°,∠BB1C=45°,故②错误;
对于③,分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线平行或异面,故③错误.故选B.
5.A　设AD1∩A1D=M,AC∩BD=O,连接OM,如图所示,
则O,M∈平面ACD1,O,M∈平面BDA1,
所以平面ACD1∩平面BDA1=OM,
由正方形的性质可知M,O分别是AD1,AC的中点,
所以MO∥CD1,同理有GH∥CD1,所以MO∥GH,
结合选项可知与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线是GH.故选A.
6.证明　(1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M.
在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1,
因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EM∥C1D1,EM=C1D1,
所以四边形EMC1D1为平行四边形,
所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F,MB=C1F,
所以四边形MBFC1为平行四边形,
所以BF∥MC1,所以D1E∥BF.
(2)因为BF∥D1E,BB1∥EA1,且∠B1BF与∠A1ED1的对应边的方向相同,所以∠B1BF=∠A1ED1.
方法技巧　基本事实4表述的性质通常叫作平行线的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
7.A　如图,连接B1C,CE.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥DC,A1B1=DC,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,则有A1D∥B1C,
所以直线B1E与A1D所成的角就是直线B1E与B1C所成的角.
设正方体的棱长为2,则BB1=2,BE=CE=,
在△EB1C中,cos∠EB1C=,所以∠EB1C=30°.
所以直线B1E与A1D所成的角为30°.故选A.
8.C　如图所示:
过平面内点P作BD∥a,CE∥b,结合题意得,∠BPE=70°,∠EPD=110°,
而∠BPE的平分线与a,b所成的角为=35°,
∠EPD的平分线与a,b所成的角为=55°,
因为60°>35°,60°>55°,所以和a,b所成的角均为60°的直线l有4条,
其中当直线l在平面BPE内的射影为∠BPE的平分线时存在2条满足条件(如图中直线c,d),
同理,当直线l在平面EPD的射影为∠EPD的平分线时存在2条满足条件,故直线l共有4条.
故选C.
9.答案　45°
解析　如图,取AC的中点F,连接EF,DF,BD,CD,
则DF∥OC,且DF=,
易得BD=CD=,
由DF∥OC,得OC与DE所成的角就是DF与DE所成的角,
即∠FDE(或其补角),
在△DEF中,cos∠FDE=,
所以∠FDE=45°,即OC与DE所成的角为45°.
能力提升练
1.D　如图,连接B1D,B1P,B1E,由正方体的性质及E,H分别为棱AB,C1D1的中点,可得B1E∥HD,
所以线段B1D与EH相交,B1P与EH相交,故A、B错误;
连接MF,B1M,有AB∥MF,AB∥B1G,故B1G∥MF,
所以线段B1M与FG相交,C错误;
连接B1N,易知直线B1N与EH,直线B1N与FG均为异面直线,D正确.故选D.
2.B　将平面展开图还原,如图所示,
对于①,易知FN∥CD,又AB∥CD,所以FN∥AB,故F,N,A,B四点共面,故直线AF与直线BQ(即直线BN)共面,①错误;
对于②,E 平面ABNF,MN 平面ABNF,B MN,B∈平面ABNF,故直线BE与直线MN是异面直线,②正确;
对于③,N,Q重合,故直线BQ(即直线BN)与直线MN共面,③正确;
对于④,E 平面ABNF,B∈平面ABNF,AF 平面ABNF,B AF,故直线BE与直线AF是异面直线,④正确.
综上,正确结论的个数为3.故选B.
方法技巧　判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行也不相交;(2)利用定理“过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”证明;(3)反证法.
3.解析　由正方体的特点及题意可知,蚂蚁走完前两段后,每走完一段,在每个端点只有一条路可走,故红、黑两只蚂蚁的路线唯一确定.
易得红蚂蚁的行走路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,回到A点后继续重复之前的路线;
黑蚂蚁的路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,回到A点后继续重复之前的路线.
因为2 023=337×6+1,所以红、黑两只蚂蚁走完2 023段之后分别停在A1,B处,此时红、黑两只蚂蚁的距离为线段A1B的长度,为.
4.A　如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,
则∠PAN即为异面直线OM与AP所成的角或其补角,
设AO=ON=1,则∠OAN=∠ONA=30°,
则AN=,
因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PA=PN=,
在△APN中,由余弦定理得,
cos∠PAN=,
所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
故选A.
5.C　设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],连接AD1,AP,
由AD1∥BC1可知∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角,
在△AD1P中,AD1=,
故cos∠AD1P=,
∵x∈[0,1],∴cos∠AD1P=,
又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈,故选C.
6.A　设AB=AA1=4,取AA1的中点Q,AB的中点M,连接C1Q,A1M,CM,取AM的中点N,连接QN,C1N,CN,
易知AE∥QC1,DB∥A1M∥QN,
所以异面直线BD与AE所成的角为∠C1QN或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得AQ⊥AN,A1Q⊥A1C1,CC1⊥CN,
所以QN=,
QC1=,
CM=4×sin 60°=4×,
CN=,
C1N=,
在△C1QN中,由余弦定理可得cos∠C1QN=,
所以异面直线BD与AE所成角的余弦值为.
故选A.
7.答案　
解析　如图,取DD1的中点M,连接AM,ME,
在△D1DC中,因为M,E分别为DD1,D1C的中点,
所以ME是△D1DC的中位线,
所以ME∥DC且ME=DC,
又AF∥DC且AF=DC,所以ME∥AF且ME=AF,
所以四边形MEFA为平行四边形,所以AM∥EF,则∠D1AM为异面直线EF与AD1所成的角,
不妨设正方体的棱长为2,
在△D1AM中,AD1=2,D1M=1,
由余弦定理得cos∠D1AM=,
所以异面直线EF与AD1所成角的余弦值为.
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