2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--13.3.1 空间图形的表面积(含答案)

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名称 2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--13.3.1 空间图形的表面积(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-10-24 23:21:07

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2025苏教版高中数学必修第二册
13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
基础过关练
题组一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
1.(2024河南新乡封丘第一中学阶段检测)已知一个直三棱柱的高为1,如图,其底面△ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则该直三棱柱的表面积为(  )
A.6+2  C.6+2
2.(2024重庆育才中学校阶段测试)正三棱锥P-ABC的表面积是底面积的5倍,则=(  )
A.  D.2
3.(2023江苏无锡期末)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干个朗读亭,朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,如图所示,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的高之比为1∶3,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(  )
A.
4.(2022江苏徐州丰县华山中学阶段测试)若正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高是12 cm,两底面边长之差的绝对值为10 cm,表面积为512 cm2,求该棱台的底面边长.
题组二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
5.(2024江苏镇江丹阳期初)已知圆台的上、下底面半径分别为2和5,且母线与下底面所成角的正切值为,则该圆台的表面积为(  )
A.59π  B.61π  C.63π  D.64π
6.(2024江苏南通如东期初)为了使学生熟练掌握一定的劳动技能,理解劳动创造价值,某中学组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中,某学生欲将一个底面半径为20 cm,高为40 cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内,则该圆柱的侧面积的最大值为    cm2.
7.如图所示,在边长为+1的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆,使之恰好围成一个圆锥,则该圆锥的表面积为    .
 
8.(2022江苏连云港海头高级中学阶段测试)一个圆锥被一个平行于圆锥底面的平面所截,截得的圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积为8,母线与轴的夹角为30°.
(1)求圆台的高与母线长;
(2)求此圆锥的侧面积.
题组三 简单组合体的表面积
9.(2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)毡帐是牧民居住的一种房子,内部是木架结构,外部由毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活,如图1所示.某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体,如图2所示,下半部分圆柱的高为2.5米,上半部分圆锥的母线长为2平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡(  )
 
A.(6+15)π平方米  
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米  
D.(10+6)π平方米
10.(2023江苏专题练习)某工厂需要制作一个模型,如图所示,该模型为长方体ABCD-A'B'C'D'挖去一个四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=4 cm,AA'=2 cm,那么该模型的表面积为(  )
A.(56+4)cm2
C.(56+8)cm2
11.(2024安徽六安期末)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,
∠ADC=120°,AB=2,AD=1,CD=2,则四边形ABCD绕直线AD旋转一周后所形成的几何体的表面积为    .
12.(2022江苏宿迁沭阳如东高级中学阶段检测)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求所得旋转体的表面积.
能力提升练
题组一 柱体、锥体、台体的表面积
(2024广东汕头潮阳一中明光学校月考)在三棱锥P-ABC中,
∠APB=∠BPC=∠CPA=,且PA=PB=2,PC=4,则该三棱锥的表面积为(  )
A.5
C.5
2.(2024四川成都诊断性检测)在所有棱长均相等的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,点P在四边形AA1B1B内(含边界)运动.当C1P=,则该四棱柱的表面积为(  )
A.16+4
C.4+
3.(2024江苏徐州学情调研)图1是一栋度假别墅,它的屋顶可近似看作一个多面体,图2是该屋顶的结构示意图,其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形,AB∥CD∥EF,△EAD和△FBC是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°,AB=20,BC=8,则该屋顶的侧面积为(  )
 
A.80  B.80
4.(2024江苏镇江期初)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,一圆柱的底面在该四棱锥的底面上,当圆柱的侧面积最大时,圆柱的底面半径为    .
5.(2023福建联考期中)如图,在三棱台ABC-DEF中,AB=BC=CA=2DF=2,FC=1,∠ACF=∠BCF=90°, G为线段AC的中点,H为线段BC上的点,BD∥平面FGH.
(1)求证:H为线段BC的中点;
(2)求三棱台ABC-DEF的表面积.
题组二 与空间图形面积有关的实际问题
6.(2024辽宁沈阳第二中学月考)由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥,其侧面三角形底边上的高与底面边长的比值为,则以该四棱锥的高为边长的正方形的面积与该四棱锥的侧面积的比值为(  )
A.2  B.  D.4
7.大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,它的开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA',BB',CC',DD',EE',FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的.因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.数学家麦克劳林通过计算得到∠B'C'D'=109°28'16″.已知BB'=5,则此蜂房的表面积是    .
8.(2022重庆缙云教育联盟质检)如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99 m,AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计).塑料薄膜的价格为每平方米10元,另外,还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路,宽如图中EF,且EF=1 m,这部分建设造价为每平方米31.4元.
(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)
(2)试确定使得上述两项费用的和最低的大棚个数.(π取3.14)
9.(2023湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)桌状山是一种山顶水平如书桌,四面绝壁临空的地质奇观.位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山,其与峨眉山并称蜀中二绝.某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化为如图1所示的圆台,其中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径,某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以30
.设A点在地表水平面上的正投影为A',B点在地表水平面上的正投影为B',A',B',M,N在地表水平面上的分布如图2所示.
 
(1)该山的高度为多少
(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8 km,当该山被冰雪完全覆盖时,冰雪的覆盖面积为多少
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 由斜二测画法还原底面△ABC,如图所示.
其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=×2×2=2,
又该直三棱柱的高为1,
所以该直三棱柱的表面积S=2×2+(2+2.故选C.
2.A 设正三棱锥P-ABC的底面边长为a,侧棱长为b,
则其底面积S1=, 
因为表面积是底面积的5倍,所以侧面积是底面积的4倍,即4S1=S2,
化简可得,
所以.故选A.
3.B 设正六棱柱的底面边长为a,高为3b,则正六棱锥的高为b,
∴正六棱柱的侧面积S1=6a·3b=18ab,正六棱锥的侧棱长为,
∴正六棱锥的侧面积S2=6×.
∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,
∴3b=2a,∴b=a,
∴.
故选B.
4.解析 如图,设上底面边长为x cm,则下底面边长为(x+10)cm,取B1C1的中点E1,BC的中点E,过E1作E1F⊥底面ABCD,垂足为F,连接EF,EE1.
在Rt△E1FE中,EF==5(cm).
∵E1F=12 cm,∴斜高E1E=13 cm.
∴S侧=4×(x+x+10)×13=[52(x+5)]cm2,
∴S表=52(x+5)+x2+(x+10)2=(2x2+72x+360)cm2.
由题意得2x2+72x+360=512,
解得x=-38(舍去)或x=2,∴x+10=12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.
5.D 画出圆台的轴截面,如图,过点A作AE⊥CD,
则DE=(CD-AB)=3,
因为母线与下底面所成角的正切值为,
所以tan∠ADE==5,
则该圆台的表面积为π(22+52+2×5+5×5)=π(4+25+10+25)=64π.故选D.
6.答案 400π
解析 如图所示,当圆柱的侧面积最大时,上底面与圆锥相切,
设该圆柱的底面半径为r,高为OO'=h,
则,所以h=40-2r.
因为h=40-2r>0,所以0设圆柱的侧面积为S cm2,
则S=2πrh=2πr(40-2r)=4πr(20-r)≤4π=400π,
当且仅当r=10时等号成立,
所以该圆柱的侧面积的最大值是400π cm2.
7.答案 5π
思路点拨 根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得剪下的圆的半径和扇形半径之间的关系,再结合正方形的对角线长列式求出底面圆的半径,进而可求得圆锥的表面积.
解析 如图,设AD,CD分别与☉F切于点E,G.易知四边形EFGD为正方形,
设圆F的半径为r,剪下的扇形半径为R,
则FD=R,
由剪下的扇形和圆恰好围成一个圆锥,可得R=2πr,解得R=4r,即BH=4r,
∴BD=BH+HF+FD=4r+r+)r,
∵正方形铁皮的边长为+1,
∴BD=,
∴(5+,∴r=1.
故剪下的扇形和圆围成的圆锥的底面半径为1,母线长为4,
则该圆锥的表面积为π×1×4+π×12=5π.
8.解析 (1)不妨设圆台的上、下底面半径分别为r,R,
因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,所以R=3r.
因为母线与轴的夹角为30°,所以圆台的母线长为4r,
所以圆台的高h=r.
因为轴截面的面积为8,
所以,
解得r=1.
故圆台的高为2,母线长为4.
(2)由圆台的母线与轴的夹角为30°,可得圆锥的母线长为2R=6r=6,
又圆锥的底面半径为3r=3,
所以圆锥的侧面积为×2π×3×6=18π.
9.A 设上半部分圆锥的高为h米,底面半径为r米,
根据题意可得
则上半部分圆锥的侧面积S1=π×3×2π(平方米),下半部分圆柱的侧面积S2=2π×3×2.5=15π(平方米),
则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡S1+S2=(6+15)π平方米.故选A.
10.A 由题意可得OE=OF=OG=OH=(cm2), 
故该模型的表面积S=4×4×2+4×4+4×)cm2.故选A.
11.答案 (12+3)π
解析 如图,作CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E,F,
因为∠ADC=120°,所以∠EDC=60°.
因为CD=2,所以DE=1,CE=.
因为AD=1,AB=2,
所以CF=AE=AD+DE=2,BF=AB-AF=2.
四边形ABCD绕直线AD旋转一周后所形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥,其中圆锥的母线为CD,底面半径为CE,圆台的母线为BC,下底面半径为AB,
故圆锥的侧面积为π×π,
圆台的下底面面积为(2)2×π=12π,
所以该几何体的表面积为(12+3)π.
12.解析 以l为轴将梯形ABCD旋转一周后,形成的几何体是一个圆柱挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥,如图所示.
由题意得CD=DD'=a,
则圆柱的母线长为a,底面半径为2a,圆锥的母线长为2a,底面半径为a,
∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·πa2,
圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,
圆柱的下底面面积S3=π(2a)2=4πa2,
圆锥的底面积S4=πa2,
∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S3-S4=(4+9)πa2.
能力提升练
1.A 因为PA=PB=2,∠APB=,
在△PBC中,PB=2,PC=4,∠BPC=,
因为BC2+PB2=PC2,AC2+PA2=PC2,
所以AC⊥AP,BC⊥BP,
所以S△APC=S△BPC=.
取AB的中点M,连接CM,则AM=BM=1,
因为AC=BC=2,所以CM⊥AB,
由勾股定理得CM=,
故S△ABC=,
所以该三棱锥的表面积S=5.故选A.
2.A 设该四棱柱的棱长为a,如图,过点C1作C1O垂直于A1B1的延长线于点O,连接OP.
由∠BAD=60°,可得OB1=.
由直四棱柱的性质可得C1O⊥平面AA1B1B,所以C1O⊥OP,
因为C1P==a,
所以点P的轨迹是在侧面AA1B1B内的以O为圆心,a为半径的圆弧EF,连接OF,
因为OB1=,
因为点P的轨迹长度为,所以OP=2,即a=2.
所以该四棱柱的表面积为4×2×2+2×2×2×.故选A.
3.D 设G,H分别是BC,AD的中点,连接HG,EH,FG.根据题意可知,F在平面ABCD内的射影在HG上,设为O,连接FO,OB,则FO⊥平面ABCD.
因为OB 平面ABCD,所以OF⊥OB,
所以∠FBO是BF与平面ABCD所成的角,即∠FBO=45°,
所以FO=OB=8×,
过O作OP⊥AB,垂足为P,连接FP,
因为OP,AB 平面ABCD,所以FO⊥OP,FO⊥AB,
又FO∩OP=O,FO,OP 平面FOP,
所以AB⊥平面FOP,
因为FP 平面FOP,所以AB⊥FP,
易得OP=,
所以BP==4,所以EF=20-4×2=12,
所以该屋顶的侧面积为2×
=160.
故选D.
4.答案 
解析 如图,在四棱锥P-ABCD内作正四棱柱AMNK-HEFG,其中E,F,G,H,M,K分别在棱PD,PC,PB,PA,AD,AB上,
要使圆柱体侧面积最大,则需其底面圆为正四棱柱AMNK-HEFG的内切圆,
连接HF,设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则HF=2r,AH=h,连接AC,则N点在AC上,
易知FH∥AC,则,
解得h=2-2r,
由h>0,得0所以圆柱的侧面积为2πrh=2πr(2-2r)=-4π(r2-r)=-4π+π,
故当r=时,圆柱的侧面积最大.
5.解析 (1)证明:连接CD,设CD∩FG=O,连接HO,DG,
因为BD∥平面FGH,BD 平面CBD,且平面CBD∩平面FGH=HO,所以BD∥HO,
易得四边形DFCG是正方形,所以O是CD的中点,所以H为线段BC的中点.
(2)因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形,
所以△DEF也为等边三角形,且EF=DE=DF=1,
则S△DEF=,
又因为∠ACF=∠BCF=90°,所以侧面ADFC和侧面EFCB均为直角梯形,且FC=1,
设侧面ADFC的面积为S1,则S1=,
连接EH,易得侧面ADEB为等腰梯形,其中DE=1,AB=2,且AD=BE=,
过点E作EM⊥AB,垂足为M,可得EM=,
设侧面ABED的面积为S2,则S2=,
所以三棱台的表面积S=+3.
6.B 如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,PE为侧面三角形PAD底边上的高,
设AD=4x,
因为侧面三角形PAD底边上的高与底面边长的比值为,
所以PE=(+1)x,
连接AC,BD,设其交点为O,连接PO,OE.
因为四边形ABCD为正方形,
所以O为AC,BD的中点.
因为PA=PB=PC=PD,所以PO⊥AC,PO⊥BD,
又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
又OE 平面ABCD,所以PO⊥OE,
即△POE是以PE为斜边的直角三角形,
因为PE=(+1)x,OE=2x,
所以PO=x,
所以以四棱锥P-ABCD的高为边长的正方形的面积S'=(2+2)x2,
四棱锥P-ABCD的侧面积S=4×+8)x2,
所以,
所以以四棱锥P-ABCD的高为边长的正方形的面积与该四棱锥的侧面积的比值为,故选B.
7.答案 216
解析 如图所示,连接OC',B'D',BD,
由题意得BD∥B'D',BD=B'D'=6,
∵四边形OB'C'D'为菱形,∠B'C'D'=109°28'16″,tan 54°44'08″=,
∴OC'=2·,
∴CC'=BB'-,
∴S梯形BCC'B'=,
∴S蜂房表=6×27.
8.解析 设每个半圆柱形大棚的底面半径为r m.
(1)当n=20时,共有19块空地,所以r==2(m),所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=πr2+πr×AD=π×22+2π×49.5=103π(m2).
故蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m2.
(2)设两项费用的和为f(n)元.
因为r=
m2,
则f(n)=10nS'+31.4×1×49.5(n-1)
=10n×+31.4×1×49.5(n-1)
=31.4×
=
=
=

=90 290.7,
当且仅当=n,即n=10时,等号成立,此时f(n)取得最小值.因此,当大棚的个数为10时,两项费用的和最低.
9.解析 (1)由题意可知∠B'MN=∠A'NM=75°,∠A'MN=∠B'NM=45°,
∴∠NA'M=60°,易得MN=30,
在△A'MN中,由正弦定理得,
∵在N点观测时A的仰角的正切值为,
∴AA'=3=0.4,
故该山的高度为0.4 km.
(2)∵∠A'MB'=∠A'NB'=30°,∴根据圆的性质可知A',B',M,N四点共圆,且圆的直径为=6,
在△A'MB'中,由正弦定理可得A'B'=6sin∠A'MB'=3,
延长A'B',与圆台交于C点,
则B'C=1.8-=0.5.
则圆台的侧面积为π×(1.5+1.8)×0.5=(km2),
圆台的上底面面积为π×1.52=(km2),
所以该山被冰雪覆盖的面积为=3.9π(km2).
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