2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
14.4　用样本估计总体
14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数
基础过关练
题组一　平均数、众数、中位数
1.(2024浙江杭州期中)某校素质运动会上,10个男生的引体向上个数依次为15,17,14,12,10,17,17,16,12,14,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则(　　)
A.c>b>a　　B.a>b>c C.c>a>b　　D.b>c>a
2.(2024江苏南通、扬州、泰州等七市调研)某同学测得连续7天的最低气温(单位:℃)分别为1,2,2,m,6,2,8,若这组数据的平均数是中位数的2倍,则m=(　　)
A.2　　B.3　　C.6　　D.7
3.(2024重庆月考)一支田径队有男运动员40人,女运动员30人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本,抽出的男运动员平均身高为176.4 cm,抽出的女运动员平均身高为168.7 cm,则估计该田径队运动员的平均身高是(　　)
A.172.9 cm　　B.173.1 cm C.172.8 cm　　D.173.6 cm
4.(2024四川绵阳南山中学模拟)下图是某地区2016—2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法正确的是(　　)
A.该地区2020—2023年旅游收入逐年递增
B.该地区2016—2023年旅游收入的中位数是3.50亿元
C.该地区2023年的旅游收入与2018年接近
D.该地区2016—2019年的平均旅游收入约为4.11亿元
题组二　频率分布直方图与平均数、众数、中位数的综合应用
5.(2024湖北武汉调考)如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)是对称形态,图(2)是“右拖尾”形态,图(3)是“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,不正确的是(　　)
　
A.图(1)的平均数=中位数=众数
B.图(2)的众数<中位数<平均数
C.图(2)的平均数<众数<中位数
D.图(3)的平均数<中位数<众数
6.(多选题)(教材习题改编)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生,将其所得分数(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示(以下各分组区间均为左闭右开,同一组中数据用区间中点值作代表),则(　　)
A.估计[79.5,89.5)这一组的频数是15
B.估计这组数据的众数为74.5
C.估计该次环保知识竞赛的平均分数是72.5
D.估计这组数据的中位数是72.8
7.(2022辽宁联考)某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况,在该市的12个区县(市)中随机抽查了甲、乙两县,考核组对他们的创建工作进行量化考核.在这两个县的量化考核分数(均为整数)中各随机抽取20个,得到如图所示的统计图(用频率分布直方图估计总体时,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).关于甲、乙两县的量化考核分数,下列结论正确的是(　　)
A.甲县量化考核分数的平均数小于乙县量化考核分数的平均数
B.甲县量化考核分数的中位数小于乙县量化考核分数的中位数
C.甲县量化考核分数的众数不小于乙县量化考核分数的众数
D.甲县量化考核分数不低于80的个数多于乙县
8.(2024河北保定唐县第一中学期中)某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况,随机调查了该校1 000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图(以下各分组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间).若直方图中2b=a+c,时长落在区间[80,90)内的人数为200.
(1)求出直方图中a,b,c的值;
(2)估计所抽查的时长样本的中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);　
(3)从参加课外兴趣班的时长在[60,70)和[80,90)内的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查,求各层中被抽到的人数.
能力提升练
题组　数据集中趋势的估计
1.(2024安徽安庆示范高中联考)已知一组数据x1,x2,…,xm的平均数为A.mn　　C.m=n　　D.不确定
2.(多选题)(2024浙江金华十校模拟)从某小区抽取100户居民进行月用电量(单位:kW·h)调查,发现他们的用电量都在50~350之间,进行适当分组后(每组均为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i=1,2,…,6),则(　　)
A.x的值为0.004 4
B.这100户居民月用电量的中位数为175 kW·h
C.月用电量落在区间[150,350)内的户数为75
D.若同组中数据用该组区间中点值代替,则这100户居民月平均用电量为(50i+25)si kW·h　
3.(2022吉林四平第一高级中学开学考试)已知x是-4,-2,-1,1,x,3,5,6,11这9个数据的中位数,且-1,0,2,x2,y-这5个数据的平均数为3,则y的取值范围为　　　　.
4.(2024福建三明第一中学月考)某中学新建了学校食堂,每天有近
2 000名学生在学校食堂用午餐,午餐开放时间约40分钟,食堂制作了三类餐食,第一类是选餐,学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购;第二类是套餐,已按配套好的菜品盛装好,可直接取餐;第三类是面食,如煮面、炒面等.为了更合理地设置窗口布局,增加学生的用餐满意度,学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受的等待时间进行问卷调查,并得到以下统计图表:
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 50 30 20
平均每份取餐时长(单位:分钟) 2 0.5 1
已知食堂的售饭窗口一共有20个,就餐高峰期时有240名学生在等待就餐.
(1)根据以上调查统计,如果设置12个选餐窗口,4个套餐窗口,4个面食窗口,就餐高峰期时,假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待(即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同),求选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间;
(2)取餐时至多等待多长时间能让80%的同学感到满意 (即在接受等待时长内取到餐,结果保留整数)
(3)根据以上调查统计,从等待时长和公平的角度上考虑,应如何优化设置各类售饭窗口数,并给出你的求解过程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　该组数据的平均数a=×(15+17+14+12+10+17+17+16+12+14)=14.4;
将该组数据按照从小到大的顺序排列,为10,12,12,14,14,15,16,17,17,17,
则中位数b==14.5;
该组数据的众数c=17,∴c>b>a.故选A.
2.D　由题意可知,这组数据的平均数为,
除m外,将数据按升序排列可得1,2,2,2,6,8,
结合m的任意性可知中位数为2,则=2×2,解得m=7.故选D.
3.B　由题意知,抽取的样本中男运动员有7×=3(人),
所以估计该田径队运动员的平均身高为176.4×=173.1(cm).故选B.
4.C　对于A,由题图可知该地区2020—2023年旅游收入不是逐年递增的,故A错误;
对于B,由题图可知该地区2016—2023年旅游收入的中位数为=4.255(亿元),故B错误;
对于C,由题图可知该地区2023年的旅游收入为4.91亿元,接近2018年的5.13亿元,故C正确;
对于D,2016—2019年旅游收入的平均数为≈4.84(亿元),故D错误.
故选C.
5.C　图(1)的频率分布直方图是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A中判断正确;
图(2)中众数最小,平均数大于中位数,故B中判断正确,C中判断错误;
图(3)中众数最大,平均数小于中位数,故D中判断正确.故选C.
6.ABD　对于A,[79.5,89.5)这一组的频率为(89.5-79.5)×0.025=0.25,频数为60×0.25=15,A正确;
对于B,[69.5,79.5)这一组的频率最大,人数最多,则众数为=74.5,B正确;
对于C,平均分数为44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=70.5,C错误;
对于D,前3组的频率之和为10×(0.01+0.015+0.015)=0.4,前4组的频率之和为0.4+10×0.03=0.7,所以中位数在区间[69.5,79.5)内,设中位数为x,∴(x-69.5)×0.03=0.1,∴x≈72.8,所以估计这组数据的中位数为72.8,D正确.故选ABD.
7.C　由题中条形图知甲县量化考核分数的平均数为×(57×2+58×1+59×1+67×1+68×2+69×2+79×6+87×1+88×2+89×1+98×1)=74.8,中位数为79,众数为79,量化考核分数不低于80的个数为1+2+1+1=5.
由题中频率分布直方图知乙县量化考核分数的平均数为(55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=71.5,中位数为70+,众数为75,量化考核分数不低于80的个数为(0.02+0.005)×10×20=5.综上,A,B,D错误,C正确.
8.解析　(1)由已知可得c=200÷1 000÷10=0.02,
则(0.005+a+b+0.02+0.005)×10=1,即a+b=0.07,
又2b=a+c,所以a=0.04,b=0.03.
(2)设时长样本的中位数为x分钟,因为(0.005+0.04)×10=0.45<0.5,(0.005+0.04+0.03)×10=0.75>0.5,所以x∈[70,80),
所以(0.005+0.04)×10+(x-70)×0.03=0.5,解得x≈71.7,即中位数为71.7分钟.
平均数为(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73(分钟).
(3)由(1)知a∶c=2∶1,故按照分层抽样随机抽取的6人中,
参加课外兴趣班的时长在[60,70)内的有6×=2(人).
能力提升练
1.B　由题意可知x1+x2+…+xm=m,
x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn=(m+n),
又],
所以m=(m+n)a,n=(m+n)(1-a),两式相减得m-n=(m+n)(2a-1)>0,所以m>n.故选B.
2.AD　对于A,由频率分布直方图的性质可知,
(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.004 4,故A正确;
对于B,因为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3<0.5,(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50=0.6>0.5,
所以这100户居民月用电量的中位数落在区间[150,200)内,设其为m kW·h,
则0.3+(m-150)×0.006=0.5,解得m≈183,故B错误;
对于C,月用电量落在区间[150,350)内的户数为(0.006 0+
0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50×100=70,故C错误;
对于D,由题意可知,这100户居民月平均用电量为(50+25)s1+(50×2+25)s2+…+(50×6+25)s6=(50i+25)si kW·h,故D正确.
故选AD.
3.答案　
解析　因为x是-4,-2,-1,1,x,3,5,6,11这9个数据的中位数,所以x∈[1,3],
因为-1,0,2,x2,y-这5个数据的平均数为3,
所以-1+0+2+x2+y--x2+14,x∈[1,3],
因为y=,y=-x2+14在[1,3]上均单调递减,
所以y=-x2+14在[1,3]上单调递减,
故当x=1时,ymax=.
4.解析　(1)由题意得,就餐高峰期时选择选餐的总人数为240×=120,
这120人平均分布在12个选餐窗口处,平均每个窗口处等待就餐的人数为=10,
所以选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间为2×10=20(分钟).
(2)由可接受等待时长的频率分布直方图可知,
分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]的频率分别为0.15,0.45,0.35,0.05,
所以可接受等待时长处于20~25分钟的同学占0.05×100%=5%,即有95%的同学不满意;
可接受等待时长处于15~25分钟的同学占(0.05+0.35)×100%=40%,即有60%的同学对等待时间少于15分钟感到满意,
所以至多等待的时间(设为x)应在[15,20)内,才能让80%的同学感到满意,则0.6+(x-15)×0.07=0.8,所以x≈18分钟,
即至多等待18分钟,能让80%的同学感到满意.
(3)假设设置m个选餐窗口,n个套餐窗口,k个面食窗口,m,n,k∈N*,则各队伍的同学最长等待时间如下:
类别 选餐 套餐 面食
高峰期就餐总人数 120 72 48
各队伍人数
最长等待时间(分钟) 2× 0.5× 1×
依题意,若从等待时长和公平的角度上考虑,则要求每个队伍的最长等待时间大致相同,
即得2×,即有m∶n∶k=20∶3∶4,
而m+n+k=20,故m≈15,n≈2,k≈3,
因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口个数分别为15,2,3.
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