2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
基础过关练
题组一　极差、方差、标准差的计算
1.(多选题)(2024江苏泰州姜堰中学适应性考试)已知m,n∈R,有一组数据为2+m,3,6-n,7-m,8,10,11+n,12,13,若去除这组数据中的第5个数8,则(　　)
A.平均数不变　　B.中位数不变 C.标准差不变　　D.极差不变
2.(多选题)(2024江苏南通调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位:环),得到如下数据:
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则下列关于所抽样本的说法,正确的是(　　)
A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B.甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数
C.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
D.甲成绩的标准差小于乙成绩的标准差
3.(2024江西新八校联考)已知甲队有60人,乙队有40人,按照分层抽样的方法从两队中共抽取10人,进行一轮答题.相关统计情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4,则这10人答对题目的方差为(　　)
A.0.8　　B.0.675 C.0.74　　D.0.82
4.(2024江苏南京航空航天大学苏州附属中学月考)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,那么另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数、方差分别为　　　　.　
题组二　极差、方差、标准差的应用
5.(2024湖南普通高中学业水平考试)甲、乙两名同学在10次数学小测试中的成绩(单位:分,满分为10分)分别如下:
甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10
乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10
则甲的样本方差　　　　乙的样本方差,可以估计同学　　　　的成绩更加稳定.(前面一空选填“大于”或“小于”或“等于”,后面一空选填“甲”或“乙”)
6.(2024陕西咸阳实验中学月考)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将10只小鼠均分为两组:对照组(不加药物)和实验组(加药物).测得10只小鼠的体重(单位:g)如下:
对照组:20.1,20.1,20.5,20.3,20.5;
实验组:20.0,19.9,19.8,20.1,20.2.
对照组和实验组小鼠的体重的样本平均数分别记为 g和 g,样本方差分别记为 g2和 g2.
(1)求;
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用(若≥2,则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用,否则不认为有显著的抑制作用).
能力提升练
题组　样本数字特征的综合应用
1.(2024湖南三湘名校教育联盟期中)为了解某高中甲、乙两个班一周内的请假同学人数情况,采用样本量按比例分配的分层抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学,其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65,乙班调查了60名同学,其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5,据此估计该校两个班一周内请假人数的总体方差为(　　)
A.2.6　　B.3　　C.3.4　　D.4.1
2.(多选题)(2024山东名校联盟开学考试)进入冬季之后,游客纷纷去往哈尔滨旅游,下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则(　　)
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
3.(多选题)(2024东北三省四市教研联合体模拟)四名同学各投掷骰子5次,分别记录骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可能出现点数6的是(　　)
A.平均数为5,中位数为2
B.众数为2,中位数为3
C.平均数为2,方差为2.4
D.平均数为3,方差为2.8
4.(多选题)(2024湖南常德期中)在气象意义中,从冬季进入春季的标志为“连续5天的日平均温度不低于18 ℃”.现有常德和长沙两地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃),满足以下条件:
常德:5个数据的中位数是20,众数是18;
长沙:5个数据中有1个是27,平均数是21,方差是10.2.
则下列说法正确的是(　　)
A.两地均进入了春季
B.长沙肯定进入了春季
C.两地肯定还未进入春季
D.不能肯定常德进入了春季
5.(多选题)(2024湖南长沙一中月考)为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区三个县在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计,A县建档立卡人员年人均收入提升状况如扇形统计图所示,B县建档立卡人员年人均收入提升状况如条形统计图所示,C县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元,方差为4百元2,A,B,C三县建档立卡人数之比为3∶4∶5,则下列说法正确的有(　　)
A.A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元
B.B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6百元2
C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为120.75百元
D.C县精准扶贫的效果最好
6.(2024江苏南通海安高级中学月考)为获得某中学高一学生的身高(单位:cm)信息,采用随机抽样方法抽取了容量为50的样本,其中男、女生的样本容量均为25,计算得到男生样本的均值为176 cm,标准差为10 cm,女生样本的均值为166 cm,标准差为20 cm,则总样本的方差为　　　　cm2.
7.某班40名学生在一次考试中成绩的平均分为80分,方差为70分2,后来发现有两名同学的成绩有误,甲实得80分,错记为60分,乙实得70分,错记为90分,则更正后的方差为　　　分2.
8.(2024山西忻州月考)从某企业生产的某批次产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,得如下频数分布表:
质量指标值 [75, 85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125]
频数 6 28 34 24 8
(1)作出这些样本数据的频率分布直方图;
(2)估计该批次产品该项质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)在某批次产品的抽检中,若出现了质量指标值在(为样本平均数,s为样本标准差)之外的产品,则认为该批次产品的生产过程可能出现了异常情况,需对该批次产品的生产过程进行检查,那么该企业是否需对本批次产品的生产过程进行检查
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.AD　原数据的平均数为=8,
去除第5个数8后的平均数为=8,
所以平均数不变,故A正确;
当m=n=0时,原数据的中位数为8,
去除第5个数8后的中位数为=8.5,
此时中位数改变,故B错误;
对于C,原数据的方差[(2+m-8)2+(3-8)2+…+(8-8)2+…+(13-8)2]
=[(2+m-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2],
去除第5个数8后的方差[(2+m-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2],
所以,即方差变大,则标准差也变大,故C错误;
对于D,因为3<8<13,所以8不会是最大值或最小值,对于极差没有影响,即极差不变,故D正确.
故选AD.
2.BC　甲成绩的极差为93-87=6(环),乙成绩的极差为92-88=4(环),A错误.
甲成绩的平均数为=90(环),乙成绩的平均数为=90(环),B正确.
甲成绩的中位数为90环,乙成绩的中位数为90环,C正确.
甲成绩的标准差为=2(环),乙成绩的标准差为(环),D错误.故选BC.
3.D　根据题意,按照分层抽样的方法从甲队中抽取10×=6(人),从乙队中抽取10×=4(人),
这10人答对题目的平均数为×(6×1+4×1.5)=1.2,
所以这10人答对题目的方差为×{6×[1+(1-1.2)2]+4×[0.4+(1.5-1.2)2]}=0.82.故选D.
方法总结　设样本A的容量为m,平均数为,方差为,样本B的容量为n,平均数为,方差为,则A和B合并后的样本容量为m+n,设合并后的样本平均数为,样本方差为s2,则)2].
4.答案　3,
解析　∵一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,∴另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为2×2-1=3,方差为22×.
规律总结　一组数据的平均数为,方差为s2,将这组数据分别加上(或减去)同一个常数a,所得数据的平均数为+a(或-a),方差不变;将这组数据分别乘同一个常数b,所得数据的平均数为b,方差为b2s2.
5.答案　小于;甲
解析　甲成绩的平均数=9(分),
方差(分2),
乙成绩的平均数=9(分),
方差(分2),
,则甲的方差小于乙的方差,同学甲的成绩更加稳定.
6.解析　(1)=20.3,
=0.032,
=20.0,
=0.02.
(2)由(1)得,
因为(2)2=4×0.052=0.208>0.09,
所以,所以没有显著的抑制作用.
能力提升练
1.B　因为甲班、乙班分别调查了40人,60人,所以甲班人数所占比重为,乙班人数所占比重为,
记甲、乙两班一周内请假人数的平均数、方差分别为,则=3.5,
设调查的总样本的平均数为,方差为s2,则=4.4,
s2=×[3.5+(4-4.4)2]=3,故选B.
2.BC　对于A,中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,极差为1.9万,故A错误.
对于B,冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7万,1.8万,1.9万,2.3万,2.4万,2.6万,2.9万,则中位数为2.3万,故B正确.
对于C,冰雪大世界日旅游人数的平均值为(万),
中央大街日旅游人数的平均值为=2(万),
因为>2,所以C正确.
对于D,由题图知冰雪大世界日旅游人数的分布更为集中,故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.
故选BC.
3.BD　对于A,若平均数为5,则点数和为5×5=25,又中位数为2,故从小到大排列后的前3个数均不能大于2,即它们的和不超过6,而后2个数的和最大为12,显然不满足条件,故不可能出现平均数为5且中位数为2的数据,故A错误;
对于B,当掷骰子出现的结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,所以B正确;
对于C,若平均数为2,且出现点数6,则这5个点数的方差s2>(6-2)2=3.2>2.4,所以当平均数为2,方差为2.4时,一定不会出现点数6,所以C错误;
对于D,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,平均数为(1+2+3+3+6)=3,方差为[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=2.8,所以D正确.
故选BD.
4.AB　对于常德来说,5个数据的中位数是20,众数是18,则5个数据中必有2个18,1个20,
设剩余的两个数分别为x,y,x≤y,
则将5个数据从小到大排列为18,18,20,x,y,
显然满足连续5天的日平均温度不低于18 ℃,故可以肯定常德进入了春季;
对于长沙来说,5个数据中有1个是27,平均数是21,方差是10.2,
则不妨设5个数据分别为z,w,e,f,27,
则=21,
且=10.2,
即z+w+e+f=78,(z-21)2+(w-21)2+(e-21)2+(f-21)2=15,
由于数据都是正整数,若z,w,e,f中有任一小于或等于17,则(z-21)2+(w-21)2+(e-21)2+(f-21)2≥16,不合要求,故z,w,e,f均大于或等于18,显然满足连续5天的日平均温度不低于18 ℃,
故可以肯定长沙进入了春季,故A,B正确,C,D错误.
故选AB.
5.BCD　选项A中,A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数=121(百元),故A错误;
选项B中,B县建档立卡人员年人均收入提升的平均数=115×10%+117×20%+119×50%+123×20%=119(百元),
B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(115-119)2×0.1+(117-119)2×0.2+(119-119)2×0.5+(123-119)2×0.2=5.6(百元2),故B正确;
选项C中,估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为×(121×3+119×4+122×5)=120.75(百元),故C正确;
选项D中,A县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(123-121)2×=10.5(百元2),所以C县建档立卡人员年人均收入提升的平均数最大,方差最小,故C县精准扶贫的效果最好,故D正确.
故选BCD.
6.答案　275
解析　记男生样本数据分别为y1,y2,…,y25,均值为,方差为,女生样本数据分别为z1,z2,…,z25,均值为,方差为,所有样本数据的均值为,方差为s2,
则)2=100,
)2=400,
∴zj=×(25×176+25×166)=171,
则s2=)2
=)2
=)=×25×100+25×(176-171)2+2×(176-171)+25×400+25×(166-171)2+2×(166-171)=×[25×125+10×(25×176-25×176)+25×425+10×(25×166-25×166)]=275.
7.答案　60
解析　因为甲实得80分,错记为60分,少记20分,乙实得70分,错记为90分,多记20分,所以更正前后总分没有变化,因此更正前后的平均分没有变化,都是80分.
设甲、乙以外的同学的成绩分别为a3分,a4分,…,a40分,
因为更正前的方差为70分2,
所以(60-80)2+(90-80)2+(a3-80)2+…+(a40-80)2=70×40=2 800,
所以(a3-80)2+…+(a40-80)2=2 800-400-100=2 300,
则更正后的方差s2=×[(80-80)2+(70-80)2+(a3-80)2+…+(a40-80)2]==60(分2),
所以更正后的方差为60分2.
8.解析　(1)根据题中频数分布表的数据,求得每组的频率分别为0.06,0.28,0.34,0.24,0.08,
再求得相应的每个矩形的高度为0.006,0.028,0.034,0.024,0.008,
可得这些样本数据的频率分布直方图如图所示:
(2)该批次产品的该项质量指标值的平均数为80×0.06+90×0.28+100×0.34+110×0.24+120×0.08=100,
方差为(-20)2×0.06+(-10)2×0.28+0×0.34+102×0.24+202×0.08=108,
所以该批次产品该项质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为108.
(3)由(2)得,则(+3s)即(100-18),
因为100-18>125,
所以本批次产品中没有出现质量指标值在(+3s)之外的产品,
因此该企业不需要对本批次产品的生产过程进行检查.
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