2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
基础过关练
题组　用频率分布直方图估计总体分布
1.(多选题)(2022江苏宜兴期中)某市为了解2022年冬奥会节目收视情况,随机抽取了200名观众进行调查,其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会节目时长的频率分布直方图,则下列说法正确的是(　　)
A.m=0.1
B.男观众收看冬奥会节目时长的众数为8小时
C.女观众收看冬奥会节目的平均时长小于男观众收看冬奥会节目的平均时长
D.收看冬奥会节目达到9小时的观众中的女性人数是男性人数的
2.(多选题)(2024江苏南京金陵中学月考)某研究性学习小组为了解某校2 000名学生参加2023年暑期社会实践的情况,通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本,对学生某一天社会实践的时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.已知这些学生该天社会实践的时间在[60,70)内的人数为20,则以下说法正确的是(　　)
A.a=0.020
B.N=200
C.估计全校该天社会实践时间在60分钟以上的学生为1 600人
D.若社会实践时间在80分钟以上为优秀,则估计此次社会实践的优秀率为25%
3.(2024江苏连云港高级中学期末)某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图如下.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2,平均数分别为,则(　　)
A.m1>m2,
C.m14.(2024广东实验中学金湾学校月考)为弘扬中华民族优秀传统文化,树立正确的价值导向,落实立德树人的根本任务,某市组织3 000名高中学生进行古典诗词知识测试,根据男、女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取100名学生,记录他们的分数,整理得到频率分布直方图如图(以下各组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间):
(1)规定分数不低于60为及格,不低于85为优秀,试估计此次测试的及格率及优秀率;
(2)试估计此次测试学生分数的中位数;
(3)已知样本中分数不低于80的男、女生人数相等,且样本中有的男生的分数不低于80,试估计参加本次测试的3 000名高中生中男生和女生的人数.
5.(2024河南百师联盟期末)某调研小组调查了某市1 000名外卖骑手平均每天完成的任务量(简称“单量”),得到如下的频数分布表和频率分布直方图:
单量/单 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50) [50, 55)
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
(1)补全该市1 000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图;
(2)根据图表数据,试求样本数据的中位数(精确到0.1);
(3)根据外卖骑手的每天单量,参考某平台的类别将外卖骑手分成三类,调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同,如下表:
单量/单 (0,20) [20,40) [40,+∞)
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2 500 4 000 4 800
根据以上数据,估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ABC　对于选项A,由(0.050+0.075+0.075+m+0.200)×2=1,解得m=0.1,故A正确;
对于选项B,由题中频率分布直方图可知,男观众收看冬奥会节目时长的众数为8小时,故B正确;
对于选项C,男观众收看冬奥会节目的平均时长为4×0.1+6×0.15+8×0.4+10×0.2+12×0.15=8.3(小时),女观众收看冬奥会节目的平均时长为4×0.2+6×0.4+8×0.3+10×0.1=6.6(小时),故C正确;
对于选项D,由题中频率分布直方图可知,男观众收看冬奥会节目达到9小时的人数为200×60%×(0.2+0.15)=42,女观众收看冬奥会节目达到9小时的人数为200×40%×0.1=8,,故D错误.
故选ABC.
2.AD　由(0.01+2a+0.045+0.005)×10=1,得a=0.02,故A正确;因为这些学生该天社会实践的时间在[60,70)内的人数为20,所以=0.2,得N=100,故B错误;因为样本中社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9,所以用样本估计总体,可知全校该天社会实践时间在60分钟以上的学生约为0.9×2 000=1 800(人),故C错误;由题图可知,该天社会实践时间在80分钟以上的频率为(0.005+0.02)×10=0.25,所以优秀率为25%,故D正确.
故选AD.
3.C　由题中频率分布直方图知甲地区用户满意度评分在[40,60)内的频率为(0.015+0.020)×10=0.35,
在[60,70)内的频率为0.025×10=0.25,
∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+×10=66,
甲地区用户满意度评分的平均数=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67.
乙地区用户满意度评分在[50,70)内的频率为(0.005+0.020)×10=0.25,
在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35,
∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+×10≈77.1,
乙地区用户满意度评分的平均数.
故选C.
4.解析　(1)观察题中频率分布直方图,可知分数在[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.05,0.05,0.1,0.15,0.25,0.3,0.1,
所以此次测试的及格率的估计值为0.15+0.25+0.3+0.1=0.8,优秀率的估计值为+0.1=0.25.
(2)由题中频率分布直方图知,分数在[30,70)内的频率为0.05+0.05+0.1+0.15=0.35,在[30,80)内的频率为0.35+0.25=0.6,
则此次测试学生分数的中位数在[70,80)内,其值为70+×10=76.
(3)样本中分数不低于80的学生共有100×(0.3+0.1)=40(人),
而样本中分数不低于80的男、女生人数相等,因此分数不低于80的男生有20人,
依题意,可知样本中男生有60人,则女生有40人,
由分层抽样可得该市高中男生有×3 000=1 800(人),女生有×
3 000=1 200(人).
5.解析　(1)由第二组的频数得其频率为=0.12,从而第二组矩形的高为=0.024,
由第四组的频数得其频率为=0.18,从而第四组矩形的高为=0.036,
补全该市1 000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图,如下:
(2)由已知可得,样本数据分布在[10,25)内的频率为=0.35<0.5;
样本数据分布在[10,30)内的频率为=0.53>0.5.
设样本数据的中位数为x,则x∈[25,30),
且有=0.5-0.35,
解得x≈29.2,即样本数据的中位数约为29.2.
(3)依题意可知,被调查的1 000人中,普通骑手共有100+120=220(名),精英骑手共有130+180+220+150=680(名),王牌骑手共有60+30+10=100(名),
所以这1 000名外卖骑手购买装备的平均成本为=3 750(元),即估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3 750元.
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