2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--15.2 随机事件的概率（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
15.2　随机事件的概率
基础过关练
题组一　古典概型的判断
1.(多选题)(2024贵州毕节威宁第八中学月考)下列有关古典概型的说法中正确的是　(　　)
A.试验的样本空间中样本点的总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.(多选题)(2024浙江杭州期中)下列不是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意一个正整数的平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面向上为止,抛掷的次数作为样本点
题组二　古典概型的概率计算
3.(2024江苏徐州棠张高级中学期末)北斗导航系统由55颗卫星组成,于2020年6月23日完成全球组网部署,并全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权至少有一颗被选中的概率为(　　)
A.
4.(2023江苏扬州仪征中学调研)有一个表面被涂满红色的棱长为n cm(n≥3,n∈N*)的正方体,将其分割成棱长均为1 cm的小立方体,从中任取一块,则恰好有两个面是红色的概率是(　　)
A.
5.(2024江苏连云港新海高级中学期中)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”,如20=7+13.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和小于15的概率是(　　)
A.
6.(2023江苏常州北郊高级中学调研)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3),则事件“a⊥b”发生的概率为　　　　.
7.(2024广西重点高中联合调研)暑假期间,小梁计划外出旅游,他翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱,但因时间太久,小梁已经忘记了密码,只记得这个密码是一个三位数,并且每个数位上的数字都是7,8,9中的一个.
(1)若小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率;
(2)若在小梁回忆起这个密码的首位数字后,小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码正确的概率.
8.(2023江苏南京联考)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则如下:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有1,2,3,4的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,①若取出的两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[4,8]内,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于4,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大,请说明理由.
题组三　随机事件的频率与概率
9.(2024上海交通大学附属中学期中)在抛一枚质地均匀的硬币的试验中,下列正确的是(　　)
A.大量的试验中,出现正面的频率为0.5
B.不管试验多少次,出现正面的概率始终为0.5
C.随着试验次数增加,出现正面的概率为0.5
D.试验次数每增加一次,下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
10.(2024陕西西北工业大学附属中学适应性训练)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图1所示,则符合这一结果的试验是(　　)
　
A.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率
C.转动如图2所示的转盘,转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率
11.(2024河南百师联考期末)下列说法中,正确的是(　　)
A.某种彩票中奖的概率是1%,因此购买100张该种彩票一定会中奖
B.做7次拋硬币的试验,结果出现3次正面,则抛一枚硬币出现正面的概率是
C.昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的
D.任意投掷两枚质地均匀的骰子,则点数和是3的倍数的概率是
12.(2024江苏南通期末)某班学生日睡眠时间(单位:h)的统计表如下:
分组 [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9]
频数 4 x 20 y
频率 a b 0.4 0.12
(1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用分层抽样方法从该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的学生中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率.
能力提升练
题组　古典概型概率的求解及应用
1.(2024四川成都树德中学月考)对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法,提高计算速度和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7},若从集合M,N中各任取一个数x,y,则log3(xy)为整数的概率为(　　)
A.
C.
2.(2024江苏南通期中)围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之.”围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙不在同一个小组内的概率为　(　　)
A.
C.
3.(2024江苏徐州月考)若正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为1,则(i=2,3,4,5,6)的概率为(　　)
A.
C.
4.(2022江苏南通如东期末)河图、洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含着深奥的宇宙星象之理,是中华文化之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十居中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数分别记为a,b,则满足|a-b|=1的概率为(　　)
A.
5.(2023江苏南京六校学情调研)我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法——筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的.据《孙子算经》记载,算筹计数法则如下:凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.即在算筹计数法中,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,……,以此类推,纵式与横式如图所示,例如: 表示62,表示26.现有5根算筹,据此方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0),则这个两位数大于40的概率为(　　)
A.
6.(2024河北石家庄第二中学期中)某校辩论赛小组共有5名成员,其中女生比男生多,现要从中随机抽取2名成员去参加校外交流活动,若抽到一男一女的概率为,则抽到2名男生的概率为　　　　.
7.(2024上海静安期末)口袋里装有4个大小、形状完全相同的小球,其中两个标有数字1,两个标有数字2.
(1)第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到的小球上的数字之和为ξ,则当ξ为何值时,其发生的概率最大 说明理由;
(2)第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与第二次取到的小球上的数字之和为η,求η大于2的概率.
8.(2023江苏南通如皋期初调研)在①高一或高二学生的概率为;②高二或高三学生的概率为;③高三学生的概率为这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知某高中高一有学生600人,高二有学生500人,高三有学生a人,若从所有学生中随机抽取1人,抽到　　　　.
(1)求a的值;
(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况,从高一和高三的所有学生中按分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人是高三学生的概率.
9.(2024江苏扬州期末)某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障,设计了一款针对某疾病的保险.现从10 000名参保人员中随机抽取100名进行分析,并按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组,其频率分布直方图如图所示,每人每年所缴纳的保费(单位:元)与参保年龄如下表所示:
年龄/岁 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
保费/元 x 2x 3x 5x 7x
(1)若采用分层抽样的方法,从年龄在[30,40)和[40,50)内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查,再从中选取2人进行他们对该种保险的满意度的调查,求这2人中恰好有1人的年龄在[30,40)内的概率;
(2)这10 000人参加保险,该公司每年为此项保险支出的各种费用总和为200万元.为使公司不亏本,则年龄在[50,60)内的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ACD　
2.ABD　A、D中概率模型不满足“等可能性”,B中不满足“有限性”,C中满足“有限性”和“等可能性”,是古典概型.故选ABD.
3.B　记天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光这7颗星分别为a,b,c,d,e,f,g,从7颗星中任选2颗星,其样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg},共21个样本点,记事件A为玉衡和天权至少有一颗被选中,则A={ad,ae,bd,be,cd,ce,de,df,dg,ef,eg},共11个样本点,所以玉衡和天权至少有一颗被选中的概率P(A)=.故选B.
4.B　由条件可知,共有n3个棱长为1 cm的小立方体,其中恰好有两个面是红色的小立方体有12(n-2)个,所以所求概率P=.故选B.
5.A　不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,从中任取2个不同的数,所有的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28个,
其中两个素数的和小于15的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),共8个,
所以所求概率为.故选A.
6.答案　
解析　a的坐标可能是(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况,
若a⊥b,则m-3n=0,即m=3n,符合这一条件的有(3,1),(6,2),共2种情况,
故事件“a⊥b”发生的概率P=.
7.解析　由题可知,所有的密码情况包括(7,7,7),(7,7,8),(7,7,9),(7,8,7),(7,8,8),(7,8,9),(7,9,7),(7,9,8),(7,9,9),(8,7,7),(8,7,8),(8,7,9),(8,8,7),(8,8,8),(8,8,9),(8,9,7),(8,9,8),(8,9,9),(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共27种,所有情况为正确密码的可能性都相同.
(1)不妨设正确的密码为(9,9,9),则恰有两位数字正确的密码情况包括(7,9,9),(8,9,9),(9,7,9),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),共6种,
故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为.
(2)不妨设正确的密码为(9,9,9),
则小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码可能为(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共9种,
故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码正确的概率为.
8.解析　样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.
(1)记“获得飞机玩具”为事件A,则事件A包含的样本点有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共4个,
则每对亲子获得飞机玩具的概率P(A)=.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B,“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(4,1),(4,2),共7个,所以P(B)=,
事件C包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以P(C)=,
则P(B)>P(C),即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.
9.B　对于A,大量的试验中,出现正面的频率越来越接近于0.5,故A不正确;
对于B,事件发生的概率是一个常数,与试验次数无关,所以不管试验多少次,出现正面的概率始终为0.5,故B正确;
对于C,随着试验次数增加,出现正面的概率约为0.5,故C不正确;
对于D,试验次数每增加一次,不能判断下一次出现正面的频率是否比它前一次更接近于0.5,故D不正确.故选B.
10.D　根据题图1可知,试验这一结果出现的频率在0.33附近波动,即其概率P=.
对于A,出现正面朝上的概率为,故A不符合题意;
对于B,出现1点的概率为,故B不符合题意;
对于C,转到数字为奇数的概率为,故C不符合题意;
对于D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率为,故D符合题意.
故选D.
11.D　对于A,由于事件结果具有随机性,所以购买100张该种彩票不一定会中奖,故A错误;
对于B,做7次抛硬币的试验,结果出现3次正面,则抛一枚硬币出现正面的频率是,并不是指其概率为,故B错误;
对于C,降水概率为95%,仍有不降水的可能,故C错误;
对于D,任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能出现的样本点,
其中点数和是3的倍数的样本点有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,
根据古典概型的概率公式,可知所求概率是,故D正确.
故选D.
12.解析　(1)因为样本容量为20÷0.4=50,
所以y=50×0.12=6,x=50-(4+20+6)=20,
所以该班学生的平均日睡眠时间为×(29+155+165+52.5)=8.03(h).
(2)由(1)知,该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的频率之比为4∶6=2∶3,
由分层抽样方法,应分别从日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的两组学生中抽取2人,3人,
记在[7,7.5)中的2人分别为a,b,在[8.5,9]中的3人分别为c,d,e,
设“2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内”为事件A,
则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个样本点,
事件A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共7个样本点,
所以P(A)=,即所求概率为.
能力提升练
1.C　从集合M,N中各任取一个数x,y,基本事件总数n=2×4=8,
log3(xy)为整数包含的基本事件有(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),共4个,
∴log3(xy)为整数的概率P=.故选C.
2.C　设除甲、乙外的另3位棋手分别为丙、丁、戊,
则这5位棋手的分组情况有(甲乙丙,丁戊),(甲乙丁,丙戊),(甲乙戊,丙丁),(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),(丙丁戊,甲乙),共10种,
其中甲和乙不在同一个小组内的情况有(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),共6种,
所以甲和乙不在同一个小组内的概率P=.
故选C.
3.D　因为|·||cos 60°=|·||cos 30°=,
|·||cos 0°=2>|·||cos 30°=|·||cos 60°=,
所以P2,P3,P4,P5,P6五个点中有两个点满足题意,所以所求概率为.故选D.
B　由题图可知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,则取出的(a,b)的所有可能情况有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(5,2),(5,4),(5,6),
(5,8),(5,10),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(7,10),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),(9,10),共25种,其中满足|a-b|=1的有(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共9种情况,所以所求概率为.故选B.
5.B　根据题意可知一共5根算筹,十位和个位上可用的算筹根数可以分为4+1,3+2,2+3,1+4共四类情况.
第一类:4+1,即十位用4根算筹,个位用1根算筹,那么十位可能是4或8,个位为1,则两位数为41或81;
第二类:3+2,即十位用3根算筹,个位用2根算筹,那么十位可能是3或7,个位可能为2或6,故两位数可能为32,36,72,76;
第三类:2+3,即十位用2根算筹,个位用3根算筹,那么十位可能是2或6,个位可能为3或7,故两位数可能为23,27,63,67;
第四类:1+4,即十位用1根算筹,个位用4根算筹,那么十位为1,个位可能为4或8,故两位数可能为14或18.
综上可知,所有的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81,共12个,
其中大于40的有41,63,67,72,76,81,共6个,
故这个两位数大于40的概率为.故选B.
6.答案　
解析　由题可知,5名成员中有4女1男或3女2男.
若5名成员中有4女1男,设4名女生分别为A1,A2,A3,A4,1名男生为B,
则随机抽取2名成员的所有情况为A1A2,A1A3,A1A4,A1B,A2A3,A2A4,A2B,A3A4,A3B,A4B,共10种,抽到一男一女的情况为A1B,A2B,A3B,A4B,共4种,
所以抽到一男一女的概率为,不符合题意;
若5名成员中有3女2男,设3名女生分别为A'1,A'2,A'3,2名男生分别为B1,B2,
则随机抽取2名成员的所有情况为A'1A'2,A'1A'3,A'1B1,A'1B2,A'2A'3,A'2B1,A'2B2,A'3B1,A'3B2,B1B2,共10种,
抽到一男一女的情况为A'1B1,A'1B2,A'2B1,A'2B2,A'3B1,A'3B2,共6种,
此时抽到一男一女的概率为,符合题意,
则抽到2名男生的情况为B1B2,只有1种,
所以抽到2名男生的概率为.
7.解析　(1)记第一次取到的小球上的数字为X,第二次取到的小球上的数字为Y,样本空间为Ω1,则ξ=X+Y,如下表:
X+Y Y
1 1 2 2
X 1 2 2 3 3
1 2 2 3 3
2 3 3 4 4
2 3 3 4 4
可知n(Ω1)=16,n(ξ=2)=4,n(ξ=3)=8,n(ξ=4)=4,
所以当ξ=3时,其发生的概率最大,最大为.
(2)记第一次取到的小球上的数字为a,第二次取到的小球上的数字为b,样本空间为Ω2,则η=a+b,如下表:
a+b b
1 1 2 2
a 1 — 2 3 3
1 2 — 3 3
2 3 3 — 4
2 3 3 4 —
可知n(Ω2)=12,n(η=2)=2,n(η=3)=8,n(η=4)=2,
所以P(η>2)=.
8.解析　(1)选①.从所有学生中随机抽取1人,抽到高一或高二学生的概率为,解得a=300,所以a的值为300.
选②.从所有学生中随机抽取1人,抽到高二或高三学生的概率为,解得a=300,所以a的值为300.
选③.从所有学生中随机抽取1人,抽到高三学生的概率为,解得a=300,所以a的值为300.
(2)由(1)知,高一、高三学生人数之比为2∶1,所以抽取的6人中,高一有4人,高三有2人.
记高一的4人分别为a,b,c,d,高三的2人分别为A,B,则从这6人中任取2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B)},共15个样本点.
记抽取的2人中至少有1人是高三学生为事件M,则M={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B)},共9个样本点.
故P(M)=.
所以至少有1人是高三学生的概率为.
9.解析　(1)由(0.007+0.016+a+0.025+0.02)×10=1得a=0.032,
设“选取的2人中恰好有1人的年龄在[30,40)内”为事件M.
由题设可知,年龄在[30,40)和[40,50)内的频率分别为0.16和0.32,则抽取的6人中,年龄在[30,40)内的有2人,年龄在[40,50)内的有4人.
记年龄在[30,40)内的2位参保人员分别为a,b,年龄在[40,50)内的4位参保人员分别为A,B,C,D,则从6人中任取2人,样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有15个样本点,事件M={(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D)},共有8个样本点,所以P(M)=.
保险公司每年收取的保费为
10 000×(0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×5x+0.2×7x)=40 000x,
所以要使公司不亏本,则40 000x≥2 000 000,解得x≥50,所以年龄在[50,60)内的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为250元.
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