2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--第1课时 两平面平行（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学必修第二册
13.2.4　平面与平面的位置关系
第1课时　两平面平行
基础过关练
题组一　两个平面平行的判定
1.(2024江苏徐州沛县湖西中学第一次学测模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是(　　)
A.若m∥β,n∥β,m α,n α,则α∥β
B.若m α,n β,m∥n,则α∥β
C.若m,n是异面直线,m α,m∥β,n β,n∥α,则α∥β
D.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β
2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的是(　　)
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1E与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
3.(2022安徽安庆第一中学期中)如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与△PRQ所在平面平行的是(　　)
　　
　　
4.(2024江苏无锡第一中学期中)在直棱柱ABCD-QMNP中,底面ABCD为平行四边形,PB⊥AC,E,F,G分别为线段AQ,AC,PA的中点.
(1)证明:PA=PC;
(2)证明:平面EFG∥平面PBC.
题组二　两个平面平行的性质
5.(2024江苏无锡辅仁高级中学期中)设l,m,n是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是(　　)
A.若α∥β,m α,n β,则m∥n
B.若α∥β,l∥α,则l∥β
C.若α∥β,l α,则l∥β
D.若α∥β,m∥n,m⊥α,则n∥β
6.(2024浙江金华第一中学期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是该正方体表面上的一个动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹长度是　　　　.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,过点B,E,D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证:四边形BFD1E为平行四边形;
(2)试确定点F的位置.
8.(2024广东茂名高新中学期中)如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,E,F分别为PC,PD的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图2.
(1)在图2中,求证:EF⊥PA;
(2)在图2中,G为线段BC上任意一点,若AP∥平面EFG,请确定点G的位置.
　
题组三　距离问题
9.(2024上海进才中学月考)已知直线a平行于平面α,且它们的距离为d,则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是(　　)
A.空集　　B.两条平行直线
C.一条直线　　D.一个平面
10.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,若AB+CD=33,且AB,CD在β内的射影长分别为5和16,则α与β间的距离为　　　　.
11.(2023浙江衢温5+1联盟期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一过AD且与平面A1D1CB平行的平面α,AA1=5,AB=12,则平面α与平面A1D1CB间的距离是　　　　.　
12.(2022江苏无锡江阴成化高级中学期中)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为AB,AD,A1B1,A1D1的中点.
(1)求证:平面BDD1B1∥平面EFF1E1;
(2)求平面BDD1B1与平面EFF1E1之间的距离.
能力提升练
题组一　两个平面平行的判定
1.(多选题)(2023安徽马鞍山二中期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,D,E,F,M,N分别是BC,B1C1,AA1,CC1,A1C的中点,则下列判断错误的是(　　)
A.EF∥平面ADB1
B.A1M∥平面ADB1
C.平面EMN∥平面ADB1
D.平面A1EN∥平面ADB1
2.(2024四川内江第二中学期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是线段DD1的中点,过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,则平面α与此正方体的截面多边形的面积为　　　　.
3.(2023四川南充模拟)如图所示,已知AC,BD是圆锥SO底面的两条直径,M为劣弧BC的中点.
(1)证明:AD⊥SM;
(2)若∠BOC=,E为线段SM上的一点,且SE=2EM,求证:平面BCE∥平面SAD.
题组二　两个平面平行的性质
4.(多选题)(2022江苏南通期中)设α,β是两个不重合的平面,下列选项中,是“α∥β”的必要不充分条件的是(　　)
A.α内存在无数条与β平行的直线
B.存在平面γ,满足γ∥α,且γ∥β
C.存在与α,β所成的角相等的直线
D.α内存在三个到β的距离相等且不共线的点
5.(2024江苏无锡辅仁高级中学期中)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=CC1=2,点P在矩形BCC1B1内运动(包括边界),M,N分别为BC,CC1的中点,若A1P∥平面MAN,则当A1P的长度取得最小值时,∠B1BP的余弦值为(　　)
A.
6.(2023浙江杭州六县九校联盟期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的动点,若平面BC1D∥平面AB1D1,问是不是定值 若是定值,求出该值;若不是定值,请说明理由.
题组三　距离问题
7.(多选题)(2024山西吕梁文水第二高级中学月考)在正方体ABCD-A1C1D1中,AB=1,下列说法正确的是(　　)
A.直线A1B1到平面ABCD的距离为1
B.直线B1D1到AC的距离为
C.点B到直线A1C的距离为
D.平面C1DA1到平面AB1C的距离为
8.(2024北京海淀期末)如图,已知菱形ABCD的边长为2,且∠A=60°,E,F分别为边AB,DC的中点.将△BCF和△ADE分别沿BF,DE折起,若满足AC∥平面DEBF,则线段AC长度的取值范围为(　　)
A.[] C.[2,2]
9.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为4,侧棱垂直于底面,E,F,G,H分别为AB,AC,A1C1,A1B1的中点.求:
(1)B1C1与平面BCGH的距离;
(2)平面A1EF与平面BCGH之间的距离.
题组四　面面平行的综合应用
10.(2022河北部分重点中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,B1C1的中点,G是棱CC1的中点,则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)
A.矩形　　
B.三角形
C.正方形　　
D.等腰梯形
11.(2024辽宁沈阳东北育才学校自主测评)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=3,BC=5,AA1=6,D为CC1的中点,E为BB1上一点,,∠ACD=120°,M为侧面AA1C1C上一点,且BM∥平面ADE,则点M的轨迹的长度为　　　　.　
12.(2024浙江金华曙光学校月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DC=1,DD1=2,分别在面对角线A1D,CD1上取点M,N,使得直线MN∥平面ACC1A1,则线段MN长度的最小值为　　　　.
13.(2023江苏盐城响水中学期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱与底面垂直,它的所有棱长都为2,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
(2)求C1G与平面BCC1B1所成角的正弦值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　对于A,少了m与n相交的条件,故A错误;
对于B,α与β有可能相交,故B错误;
对于C,因为m α,所以m β,又m∥β,所以由线面平行的性质定理可知在β内存在直线l,使得l∥m,则l α,进而可得l∥α,因为m,n是异面直线,n β,所以l与n相交,又n∥α,所以由面面平行的判定定理得α∥β,故C正确;
对于D,如图所示,平面α内有不共线的三点A,B,C到平面β的距离相等,但α与β相交,故D错误.
故选C.
2.A　对于A,∵E1G1∥EG,EH1∥FG1,E1G1∩FG1=G1,EG∩EH1=E,
∴平面E1FG1与平面EGH1彼此平行,故A正确;
对于B,∵HG1与H1G相交,∴平面FHG1与平面F1H1G相交,故B错误;
对于C,∵HE1与H1E相交,∴平面F1H1E与平面FHE1相交,故C错误;
对于D,∵HG1与H1G相交,∴平面E1HG1与平面EH1G相交,故D错误.故选A.
3.D　由题意可知经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ(S为AA1的中点),如图所示.
对于A,MC1与QN是相交直线,所以A不正确;
对于B,C,点N在经过P,Q,R三点的平面上,所以B,C错误;
对于D,因为A1C1∥RH,BC1∥QN,A1C1∩BC1=C1,RH,QN相交,A1C1,BC1 平面A1C1B,RH,QN 平面PSRHNQ,
故平面A1C1B∥平面PSRHNQ,即平面A1C1B∥平面PRQ,故D正确.故选D.
方法技巧　利用两个平面平行的判定定理证明两个平面平行时,必须具备两个条件:①一个平面内的两条直线平行于另一个平面;②这两条直线必须是相交直线.
4.证明　(1)如图所示,连接PF,BD,
在直棱柱ABCD-QMNP中,PD⊥平面ABCD,而AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.
因为PB⊥AC,且PD∩PB=P,PD,PB 平面PBD,
所以AC⊥平面PBD,
又PF 平面PBD,所以AC⊥PF.
因为F为AC的中点,所以PF是AC边上的中线,
所以PA=PC.
(2)在△PAC中,F,G分别为AC,PA的中点,
所以GF∥PC.
因为PC 平面PBC,GF 平面PBC,
所以GF∥平面PBC.
在△PAQ中,E,G分别为AQ,PA的中点,
所以EG∥QP.
在直棱柱ABCD-QMNP中,QP∥BC,所以EG∥BC.
因为BC 平面PBC,EG 平面PBC,
所以EG∥平面PBC,
因为GF∩EG=G,且GF,EG 平面EFG,
所以平面EFG∥平面PBC.
5.C　对于A,若α∥β,m α,n β,则m∥n或m,n异面,故A错误;
对于B,若α∥β,l∥α,则l∥β或l β,故B错误;
对于C,若α∥β,l α,则l∥β,故C正确;
对于D,若α∥β,m∥n,m⊥α,则m⊥β,所以n⊥β,故D错误.故选C.
6.答案　3
解析　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M满足BM∥平面AD1C,
由两个平面平行的性质定理得,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内时,满足题意,
如图所示,连接A1B,BC1,A1C1.
由正方体的性质得AB∥C1D1且AB=C1D1,
所以四边形ABC1D1为平行四边形,
所以AD1∥BC1,同理可得A1B∥D1C.
因为AD1 平面A1BC1,BC1 平面A1BC1,
所以AD1∥平面A1BC1.
又D1C 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,
所以D1C∥平面A1BC1,
因为AD1∩D1C=D1,AD1,D1C 平面AD1C,
所以平面A1BC1∥平面AD1C.
又B∈平面A1BC1,M是该正方体表面上的一个动点,所以动点M的轨迹为△A1BC1.
易得A1B=BC1=A1C1=,
所以动点M的轨迹长度为3.
7.解析　(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE,平面BFD1E∩平面DCC1D1=D1F,
所以BE∥D1F.同理可证ED1∥FB,
所以四边形BFD1E为平行四边形.
(2)由(1)知四边形BFD1E为平行四边形,
所以FB=ED1.
因为CB=A1D1,∠BCF=∠D1A1E,
所以△BCF≌△D1A1E,所以CF=EA1.
又E是AA1的中点,所以F是CC1的中点.
方法技巧　由面面平行可得线线平行,它提供了证明线线平行的一种方法,应用的关键是找到与两个平行平面都相交的第三个平面.
8.解析　(1)证明:在题图1中,因为AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,
所以四边形ABCD为正方形,所以CD⊥PD,CD⊥AD,
在翻折过程中,垂直关系不变,故在题图2中,CD⊥PD,CD⊥AD,
而PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD,所以EF⊥平面PAD.
又PA 平面PAD,所以EF⊥PA.
(2)当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
证明如下:由(1)知四边形ABCD是正方形,
所以AB∥CD.
因为E,F分别是PC,PD的中点,
所以EF∥CD,所以AB∥EF.
而AB 平面EFG,EF 平面EFG,
所以AB∥平面EFG.
因为AP∥平面EFG,且AP∩AB=A,AP,AB 平面APB,
所以平面APB∥平面EFG.
因为平面PBC∩平面APB=PB,平面PBC∩平面EFG=GE,所以PB∥GE,
所以,所以G为BC的中点.
综上所述,当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
9.B　依题意,与平面α的距离为d的点的集合是平行于平面α,且与平面α的距离为d的两个平行平面,因为平行于平面α的直线a到平面α的距离为d,所以直线a在上述两个平行平面中的一个内,在此平面内到直线a的距离为d的点的集合是平行于直线a且到直线a的距离为d的两条平行直线,所以到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是两条平行直线.故选B.
10.答案　12
解析　如图所示,过点A作AE⊥β,垂足为E,过点C作CF⊥β,垂足为F,连接BE,DF.
由题意可知,BE=5,DF=16.
设AB=x,则CD=33-x,
则x2-25=(33-x)2-256,解得x=13,
∴α与β间的距离AE==12.
11.答案　
解析　因为平面α∥平面A1D1CB,AD 平面α,所以AD到平面A1D1CB的距离即为平面α与平面A1D1CB间的距离,易知AD∥平面A1D1CB,所以点A到平面A1D1CB的距离即为所求的距离.
如图所示,过点A作AH⊥A1B于点H.
因为A1D1⊥平面A1B1BA,AH 平面A1B1BA,
所以A1D1⊥AH,
又A1B∩A1D1=A1,A1B,A1D1 平面A1D1CB,
所以AH⊥平面A1D1CB,则AH的长度即为所求.
在Rt△BAA1中,AB=12,AA1=5,
则A1B==13,
因为AH·A1B=A1A·AB,所以AH=.
故平面α与平面A1D1CB间的距离为.
12.解析　(1)证明:因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EF∥BD.
又EF 平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
因为E,E1分别为AB,A1B1的中点,
所以EE1∥BB1.
因为EE1 平面BDD1B1,BB1 平面BDD1B1,
所以EE1∥平面BDD1B1.
因为EF∩EE1=E,EF,EE1 平面EFF1E1,
所以平面BDD1B1∥平面EFF1E1.
(2)连接AC,分别交BD,EF于点O,M,则O为BD的中点,且AO⊥BD.
因为BB1⊥平面ABCD,AO 平面ABCD,
所以AO⊥BB1.
又AO⊥BD,BD∩BB1=B,BD,BB1 平面BB1D1D,
所以AO⊥平面BB1D1D.
因为平面BDD1B1∥平面EFF1E1,
所以AO⊥平面EFF1E1,
所以线段OM的长度等于平面BDD1B1与平面EFF1E1之间的距离,
因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EF∥BD,EF=BD,
所以AO.
因为正方体的棱长为a,
所以OM=a,
即平面BDD1B1与平面EFF1E1之间的距离为a.
能力提升练
1.ABC　连接AC1,ED,如图所示.
易得N为AC1的中点,
又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1.
因为AB1 平面ADB1,EN 平面ADB1,
所以EN∥平面ADB1.
因为四边形BCC1B1是平行四边形,D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DEBB1AA1,
所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD.
又AD 平面ADB1,A1E 平面ADB1,
所以A1E∥平面ADB1.
又A1E,EN 平面A1EN,A1E∩EN=E,
所以平面A1EN∥平面ADB1,所以D中判断正确.
因为EF,A1M均与平面A1EN相交,所以EF,A1M均与平面ADB1相交,所以A,B中判断都不正确.
又MN∥AC,AC与平面ADB1相交,
所以MN与平面ADB1也相交,所以C中判断不正确.
故选ABC.
2.答案　
解析　取DC的中点F,连接EF,BF,
取A1B1,BB1的中点G,H,连接CD1,GD1,GH,HC,
则GH∥A1B,EF∥CD1,A1B∥CD1,
所以EF∥A1B,GH∥CD1,
所以A1,E,F,B四点共面,D1,C,H,G四点共面.
又GH 平面A1BFE,A1B 平面A1BFE,
所以GH∥平面A1BFE.
取AB的中点M,连接GM,DM,由正方体的性质可得GM∥DD1且GM=DD1,
所以四边形GMDD1为平行四边形,所以GD1∥DM,同理可证四边形BMDF为平行四边形,
所以DM∥BF,所以GD1∥BF.
因为GD1 平面A1BFE,BF 平面A1BFE,
所以GD1∥平面A1BFE,
又GH∩GD1=G,GH,GD1 平面GHCD1,
所以平面GHCD1∥平面A1BFE.
因为过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,所以平面α与此正方体的截面多边形为四边形GHCD1,
又GH=,
所以,
即平面α与此正方体的截面多边形的面积为.
3.证明　(1)连接MO并延长,交AD于N,连接SN,如图所示,
∵M为劣弧BC的中点,∴OM是∠BOC的平分线,∴ON平分∠AOD.
∵OA=OD,∴MN⊥AD.
∵SO⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴SO⊥AD.
又∵MN,SO 平面SMN,且MN∩SO=O,
∴AD⊥平面SMN.
又∵SM 平面SMN,∴AD⊥SM.
设MO交BC于F,连接EF,由(1)知OF平分∠BOC,又OB=OC,
∴OF⊥BC.
又∠BOC=,
∴在△COF中,OF=CO,∴F为OM的中点,
同理ON=OD,∴NF=2FM.
又∵SE=2EM,∴,∴EF∥SN.
∵SN 平面SAD,EF 平面SAD,∴EF∥平面SAD.
又∵在平面ABCD中,BC⊥MN,AD⊥MN,∴BC∥AD.
又AD 平面SAD,BC 平面SAD,∴BC∥平面SAD.
又∵EF,BC 平面BCE,且EF∩BC=F,
∴平面BCE∥平面SAD.
4.ACD　由α内存在无数条与β平行的直线不能得到α∥β,反过来,若α∥β,则α内存在无数条与β平行的直线,A符合题意;
若存在γ,满足γ∥α且γ∥β,则α∥β,充分性成立,B不符合题意;
若存在与α,β所成的角相等的直线,则α,β可能相交,不能得到α∥β,反过来,若α∥β,则一定存在与α,β所成的角相等的直线,C符合题意;
当α内存在三个到β的距离相等且不共线的点时,两平面可能相交,不能得到α∥β,反过来,若α∥β,则α内一定存在三个到β的距离相等且不共线的点,D符合题意.故选ACD.
5.D　如图所示,取BB1的中点E,B1C1的中点F,连接EF,A1E,A1F,FM,BC1,则EF∥BC1.
又M,N分别为BC,CC1的中点,
所以MN∥BC1,所以EF∥MN.
因为EF 平面MAN,MN 平面MAN,
所以EF∥平面MAN,
易知AA1∥MF,AA1=MF,所以四边形A1AMF为平行四边形,所以A1F∥AM.
因为A1F 平面MAN,AM 平面MAN,所以A1F∥平面MAN,
又A1F∩EF=F,A1F,EF 平面A1EF,
所以平面A1EF∥平面MAN,
所以当A1P 平面A1EF时,A1P∥平面MAN,则点P在线段EF上,
当A1P⊥EF时,A1P的长度取得最小值,易知A1E=A1F=,
所以此时P为线段EF的中点.
由平面几何知识可知,BE=1,EP=,
在△BEP中,由余弦定理可得cos∠B1BP=.
所以此时∠B1BP的余弦值为.故选D.
6.解析　是定值.如图,连接A1B,交AB1于点O,连接OD1,由棱柱的性质,可知四边形A1ABB1为平行四边形,所以O为A1B的中点.
因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,
所以BC1∥OD1,
所以D1为线段A1C1的中点,所以C1D1=A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1,平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,
所以AD1∥DC1.
又因为AD∥C1D1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以AD=C1D1==1.
7.ACD　对于A,如图1,AA1⊥平面ABCD,BB1⊥平面ABCD,A1B1∥平面ABCD,AA1=BB1=1,
故直线A1B1到平面ABCD的距离为1,故A正确.
对于B,如图2,设O1,O2分别是上、下底面的中心,连接O1O2,则O1∈B1D1,O2∈AC,
则O1O2⊥平面ABCD,而AC 平面ABCD,故O1O2⊥AC,
又O1O2⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,故O1O2⊥B1D1,
所以O1O2是异面直线B1D1,AC的公垂线段,易知O1O2=1,故B错误.
对于C,如图3,连接A1B,作BH⊥A1C于点H,因为BC⊥平面ABB1A1,A1B 平面ABB1A1,
所以BC⊥A1B,在Rt△A1BC中,A1B=,
故BH=,故C正确.
对于D,如图4,连接BD1,BD,因为AC∥A1C1,A1C1 平面C1DA1,AC 平面C1DA1,所以AC∥平面C1DA1,
同理AB1∥平面C1DA1,
又AC∩AB1=A,AC,AB1 平面ACB1,
故平面C1DA1∥平面AB1C,
因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,又BD⊥AC,BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,故AC⊥平面BDD1,
而BD1 平面BDD1,故AC⊥BD1,同理可得B1C⊥BD1,
又AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,故BD1⊥平面AB1C,
同理可得BD1⊥平面C1DA1,
记BD1分别与平面AB1C,平面C1DA1交于点E,F,显然EF的长度就是平面C1DA1到平面AB1C的距离.
连接B1D1交A1C1于O1,设AC∩BD=O,连接DO1,B1O,在对角面BB1D1D中,F,E恰好分别是DO1,B1O与BD1的交点,
因为O,O1分别是BD,B1D1的中点,所以DO1∥B1O,所以E,F是BD1的三等分点,
易得BD1=,故D正确.故选ACD.
8.A　折起前,连接AC,BD,
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=180°-60°=120°,
在△ABC中,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+4-2×2×2×=12,
所以AC=2.
折起后,若AC∥平面DEBF,则AC 平面DEBF,则AC<2,故排除B,D;
折起前,在菱形ABCD中,AB=AD=2,∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,
而E,F分别为边AB,DC的中点,所以DE⊥AB,BF⊥DC,又AB∥DC,所以DE∥BF.
折起后,DE⊥AE,DE⊥EB,AE∩EB=E,AE,EB 平面EAB,
所以DE⊥平面EAB,同理可得BF⊥平面FDC,所以平面EAB∥平面FDC,
则平面EAB与平面FDC的距离即为DE的长度,易得DE=,
由点A∈平面EAB,点C∈平面FDC,得AC≥.
在折起过程中,当∠DFC=∠AEB=60°时,由AE=EB,DF=FC,
得△EBA,△DFC均为正三角形,可构成如图所示的正三棱柱DFC-EBA,
满足AC∥平面DEBF,此时AC=DE=.
所以线段AC长度的最小值为,故A正确.故选A.
9.解析　(1)分别取B1C1,BC的中点D1,D,
连接A1D1交HG于M,连接DD1,DM,如图所示.
由题意易得HG⊥A1D1,HG⊥DD1,
∵A1D1∩DD1=D1,A1D1,DD1 平面MD1D,
∴HG⊥平面MD1D.
过点D1作D1P⊥MD,垂足为P,易知 D1P⊥HG,
又HG∩MD=M,∴D1P⊥平面BCGH,
∴D1P的长就是点D1到平面BCGH的距离.
易知HG∥B1C1,HG 平面BCGH,B1C1 平面BCGH,∴B1C1∥平面BCGH,
∴D1到平面BCGH的距离和B1C1与平面BCGH的距离相等,
∴D1P的长即为所求.
在Rt△DD1M中,DD1=4,D1M=,
∴MD=,
∴D1P=.
∴B1C1与平面BCGH的距离是.
(2)由题意易知A1E∥HB,
∵A1E 平面BCGH,HB 平面BCGH,
∴A1E∥平面BCGH,
同理,A1F∥平面BCGH.
又A1E∩A1F=A1,A1E,A1F 平面A1EF,
∴平面A1EF∥平面BCGH,
∴平面A1EF与平面BCGH间的距离等于点A1到平面BCGH的距离.
又H,G分别是A1B1,A1C1的中点,
∴点A1到平面BCGH的距离等于B1C1到平面BCGH的距离.
∴平面A1EF与平面BCGH之间的距离为.
10.D　如图,取BC的中点H,连接AH,GH,D1G,AD1,
易得GH∥EF∥AD1,AH∥A1F,AH=D1G.
∵GH 平面A1EF,EF 平面A1EF,
∴GH∥平面A1EF.
∵AH 平面A1EF,A1F 平面A1EF,
∴AH∥平面A1EF.
∵GH∩AH=H,GH,AH 平面AHGD1,
∴平面AHGD1∥平面A1EF,
∴过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形AHGD1.故选D.
解后反思　本题考查截面图形形状的判断,关键是过点A和点G在正方体表面作平面A1EF的平行线,一般是在正方体的表面作与平面A1EF与正方体表面的交线的平行线,即A1E,EF,A1F的平行线.
11.答案　
解析　由题意知,BE=2,CD=3,在CD上取点M1,使得M1D=2,M1C=1,连接BM1,
则M1D∥BE且M1D=BE,所以四边形BEDM1为平行四边形,故BM1∥DE,
又BM1 平面ADE,DE 平面ADE,
所以BM1∥平面ADE.
在AC上取点M2,使得M2A=2,M2C=1,连接BM2,M1M2,
有,所以M1M2∥AD,
又M1M2 平面ADE,AD 平面ADE,
所以M1M2∥平面ADE,又BM1∩M1M2=M1,BM1,M1M2 平面BM1M2,
所以平面BM1M2∥平面ADE,则点M的轨迹为线段M1M2.
在△CM1M2中,CM1=CM2=1,∠M1CM2=120°,
由余弦定理得
M1M2=,
即点M的轨迹的长度为.
12.答案　
解析　作MM1⊥AD于点M1,NN1⊥CD于点N1,
则MM1∥AA1∥DD1∥NN1,即M,M1,N1,N四点共面,
又MM1 平面ACC1A1,AA1 平面ACC1A1,故MM1∥平面ACC1A1,
由题知MN∥平面ACC1A1,又MM1∩MN=M,MM1,MN 平面MNN1M1,
故平面MNN1M1∥平面ACC1A1,
又平面ACC1A1∩平面ABCD=AC,平面MM1N1N∩平面ABCD=M1N1,所以M1N1∥AC.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为矩形,AD⊥CD,又因为DA=DC=1,所以△M1DN1为等腰直角三角形,
又MM1∥AA1,NN1∥DD1,所以=2,
设DM1=DN1=x,则M1N1=x,MM1=2x,NN1=2-2x,
在直角梯形MNN1M1中,MN2=(,
所以当x=.
13.解析　(1)证明:∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,
∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,
∴EF∥平面A1C1G.
∵A1B1 AB,F,G分别为A1B1,AB的中点,
∴A1F BG,
∴四边形A1GBF为平行四边形,∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,
∴BF∥平面A1C1G,
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)在平面ABC内,过点G作GH⊥BC,垂足为H,连接C1H.
∵CC1⊥平面ABC,GH 平面ABC,∴CC1⊥GH.
又BC∩CC1=C,BC,CC1 平面BCC1B1,
∴GH⊥平面BCC1B1.
∴∠GC1H即为C1G与平面BCC1B1所成的角.
易知BG=1,∠GBH=60°,∠BHG=90°,
∴BH=.
又CC1⊥BC,CC1=2,
∴C1H=.
又GH⊥C1H,
∴C1G=,
∴sin∠GC1H=,
故C1G与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)