2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--第2课时 复数的除法和乘方运算（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第2课时　复数的除法和乘方运算
基础过关练
题组一　复数的除法运算
1.(2024江苏南京金陵中学期中)设z==(　　)
A.-1+i　　B.-1-i　　C.1-i　　D.1+i
2.(2024江苏泰州民兴实验中学期中)设复数z满足z(1+i)=1+2i,则复数z=(　　)
A. C.-
3.(2024江苏连云港期中)设z1=2+3i,z2=m-i(m∈R),若<0,则m=(　　)
A.-
4.(2024山东日照月考)已知z1=5+10i,z2=3-4i,设,则z=　　　　.
5.计算:
(1)(2024四川宜宾珙县中学月考);　
(2);
(3).
题组二　复数的乘方与i的整数指数幂
6.(2024江苏无锡期末)已知复数z=cosi(i为虚数单位),则复数z3=(　　)
A.1　　B.-1　　C.i　　D.-i
7.(2024江苏南京、盐城第一次模拟)复数z满足(1-i)3z=1+i(i为虚数单位),则z=(　　)
A.-　　C.-i　　D.i
8.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)已知复数z=的虚部为(　　)
A.-1　　B.-i　　C.1　　D.i
9.(2024贵州贵阳六校联考)计算:(=　　　　.
题组三　复数范围内方程根的问题
10.(2024江苏镇江扬中第二高级中学期末)已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi的虚部为(　　)
A.-5i　　B.-5　　C.5i　　D.5
11.(2024浙江温州中学期中)若复数z是方程x2-2x+2=0的一个根,则iz的虚部为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
12.在复数范围内解方程x2+6x+10=0.
能力提升练
题组一　复数的四则运算
1.(多选题)(2024山西大同第一中学期中)复数z=1+,则下列叙述正确的是(　　)
A.z2是一个实数　　B.是一个纯虚数
C.z·=i
2.(2024江苏连云港高级中学阶段测试)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+
2 024i2 023的虚部为(　　)
A.-1 011　　B.-1 012　　
C.1 011　　D.1 012
3.(2024江苏南京师大附中模拟)已知集合A=,则A的元素个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.(2024安徽合肥一六八中学检测)计算:i)2=　　　　　.
5.已知ω=-i(i为虚数单位).
(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2的值;
(2)求ω2+的值;
(3)类比in(n∈N*),探讨ωn的性质.
6.(2022江苏常熟外国语学校期中)设z是虚数,且ω=z+满足-1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围;
(2)设u=,求证:u为纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-u2的最小值.
题组二　复数范围内方程根的问题
7.(多选题)(2022山东泰安期末)已知复数z满足方程(z2+9)(z2-2z+4)=0,则(　　)
A.z可能为纯虚数
B.该方程共有两个虚根
C.z可能为1-i
D.该方程的各根之和为2
8.(2022上海复旦大学附属中学期末)已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a+4=0(a∈R)在复数范围内的两根分别为α、β.
(1)若该方程没有实数根,求实数a的取值范围,并在复数范围内对x2-2ax+a2-4a+4进行因式分解;
(2)若|α|+|β|=3,求实数a的值(附:复数z=a+bi的模为|z|=).
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　z==-1-i.故选B.
2.B　由z(1+i)=1+2i,得z=.
故选B.
3.A　,
若的虚部为0,
∴2+3m=0,解得m=-,
此时=-3<0,满足题意.故选A.
4.答案　5-i
解析　∵,
∴z=i.
5.解析　(1)=i-i=0.
(2)=1-i.
(3)i.
解题模板　涉及复数的除法,一般先将式子写成分式形式,再把分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需分子、分母同乘i.
6.A　因为z=cosi,
所以z3=
==1.
故选A.
7.A　由已知得z=.故选A.
8.A　因为=i,且i2=-1,i3=-i,i4=1,
所以z==i2 025=i506×4+1=(i4)506×i=i,
所以的虚部为-1.故选A.
9.答案　256
解析　(
=16(1-i)8+
=16(-2i)4-1+
=256-1+1=256.
10.B　解法一:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,
所以(2+i)2-a(2+i)-b=0,即(3-2a-b)+(4-a)i=0,则解得a=4,b=-5,
所以z=a+bi=4-5i,其虚部为-5.故选B.
解法二:因为2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,所以2-i是该方程的另一个解,
由根与系数的关系可知a=2+i+2-i=4,-b=(2+i)·(2-i)=22-i2=5,即a=4,b=-5,
所以z=a+bi=4-5i,其虚部为-5.故选B.
11.答案　1
解析　方程x2-2x+2=0即(x-1)2=-1=i2,解得x=1+i或x=1-i,
若z=1+i,则i·z=i(1+i)=-1+i,所以i·z的虚部为1;
若z=1-i,则i·z=i(1-i)=1+i,所以i·z的虚部为1.
综上可得,i·z的虚部为1.
12.解析　解法一:因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1=0,所以(x+3)2=-1,
又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2,
所以x+3=±i,即x=-3±i.
解法二:因为Δ=62-4×10×1=-4<0,
所以方程的根为x==-3±i.
能力提升练
1.BCD　z=1+=1-i.
对于A,z2=(1-i)2=-2i,是虚数,故A错误;
对于B,=(1+i)2=2i,是纯虚数,故B正确;
对于C,z·=(1-i)(1+i)=2,故C正确;
对于D,=i,故D正确.
故选BCD.
2.B　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i)
=(-2-2i)+(-2-2i)+…+(-2-2i)=-1 012-1 012i,
故复数z的虚部为-1 012.故选B.
3.C　当n=1时,z=i+=i-i=0;
当n=2时,z=i2+=-1-1=-2;
当n=3时,z=i3+=0;
当n=4时,z=i4+=1+1=2;
当n=5时,z=i5+=i-i=0;
……
由此可知,每四个循环一次,所以集合A={0,-2,2},即A的元素个数为3.故选C.
4.答案　i
解析　i)2
=i)
=
=i.
5.解析　(1)∵ω=-i,
∴ω2=-,ω3=1,ω2+ω+1=0,
∴(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.
(2)由(1)知ω2+ω=-1,∴ω2+=ω2+ω=-1.
(3)由(1)可知ω2=-,ω3=1,
∴ωn=
6.解析　(1)设z=a+bi,a,b∈R,b≠0,
则ω=a+bi+i,
∵-1<ω<2,∴ω是实数,∴b-=0,
又b≠0,∴a2+b2=1,
∴ω=2a,则-1<2a<2,∴-∴z的实部的取值范围是.
(2)证明:由(1)可知a2+b2=1,
∴u=i,
∵a∈≠0,∴u为纯虚数.
(3)易得ω-u2=2a+-3,
∵a∈,
故ω-u2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立.
故ω-u2的最小值为1.
ACD　由(z2+9)(z2-2z+4)=0,得z2+9=0或z2-2z+4=0,即z2=-9或(z-1)2=
-3,
解得z=±3i或z=1±i)=2,
故选ACD.
8.解析　(1)若方程没有实数根,则Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,解得a<1,
由x2-2ax+a2-4a+4=0,
得(x-a)2=4(a-1)=(2i)2,
∴(x-a)2-(2i)2=0,
即(x-a+2i)=0.
∴在复数范围内,x2-2ax+a2-4a+4=(x-a+2i).
(2)当Δ=4a2-4(a2-4a+4)≥0,即a≥1时,α,β都是实数,
由根与系数的关系可知,满足题意.
当Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,即a<1时,方程有两个共轭虚根,分别设为m+ni,m-ni,其中m,n∈R,
则(舍).
综上所述,a=.
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