2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--第2课时 相互独立事件（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第2课时　相互独立事件
基础过关练
题组一　判断事件的独立性
1.(多选题)(2022江苏南通海安期初调研)袋子中共有大小和质地相同的4个球,其中2个白球,2个黑球,从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”,乙表示事件“第二次摸到黑球”,丙表示事件“两次都摸到白球”,则(　　)
A.甲与乙互斥　　
B.乙与丙互斥
C.甲与乙相互独立　　
D.甲与乙对立
2.(2024江苏南京秦淮中学等五校联合体期末)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,观察其向上的点数,设事件A=“第一枚向上的点数为奇数”,事件B=“第二枚向上的点数为偶数”,事件C=“两枚骰子向上的点数之和为8”,事件D=“两枚骰子向上的点数之积为奇数”,则(　　)
A.A与C互斥　　
B.A与C相互独立
C.B与D互斥　　
D.B与D相互独立
3.(多选题)(2024浙江温州普通高中学业水平考试)某不透明盒子中共有5个大小、质地完全相同的小球,其中有3个白球,2个黑球,现从中随机取两个球,甲表示事件“第一次取到黑球”,乙表示事件“第二次取到白球”,则下列说法错误的是(　　)
A.若不放回取球,则甲、乙相互独立
B.若有放回取球,则甲、乙相互独立
C.若不放回取球,则甲、乙为互斥事件
D.若有放回取球,则甲、乙为互斥事件
4.(2023江苏南通海安学情检测)对于一个古典概型,有样本空间Ω和事件A,B,C,D,其中n(Ω)=60,n(A)=30,n(B)=10,n(C)=20,n(D)=30,n(A∪B)=40,n(A∩C)=10,n(A∪D)=60,则(　　)
A.A与B不互斥　　
B.A与D互斥但不对立
C.C与D互斥　　
D.A与C相互独立
题组二　相互独立事件的概率计算
5.(2024江苏无锡锡东高级中学期中)已知在8个电子元件中,有2个次品,6个合格品,每次任取一个进行测试,测试完后不再放回,直到2个次品都找到为止,则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为(　　)
A.
6.(2023江苏南京六校联考)如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统,当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.7,0.7,则系统正常工作的概率为(　　)
A.0.441　　B.0.782　　C.0.819　　D.0.9
7.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属中学开学测试)甲、乙两人准备各买一部手机,购买国产手机的概率分别为0.6,0.5,购买白色手机的概率分别为0.4,0.6,若甲、乙两人购买哪款手机相互独立,则(　　)
A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5
B.两人都没购买白色手机的概率为0.52
C.甲购买国产白色手机的概率为0.48
D.甲、乙至少一人购买国产白色手机的概率为0.468
8.(2024江苏淮安金湖中学、清江中学、郑梁梅高级中学等期中)甲、乙两人独立地解同一道题目,甲、乙解对题目的概率分别是,那么至少有1人解对题目的概率是　　　　.
能力提升练
题组　相互独立事件概率的计算
1.(2024江苏高邮学情调研)第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在巴黎举办,其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为(　　)
A.
2.(多选题)(2023江苏南京第十三中学月考)已知事件A,B,C,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,则下列结论正确的是(　　)
A.如果P(A∪B∪C)=1,那么P(C)=0.2
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.8,P(AB)=0
C.如果B A,那么P(A∪B)=0.5,=0.6
D.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.65,P()=0.35
3.(2023河北衡水中学检测,)甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下.若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则甲、乙各胜一局的概率为　　　　.
4.(2024吉林白山抚松第一中学期中)如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落入A,B,C.已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落入A,B,C,则分别给以一、二、三等奖,则某人投1次小球获得三等奖的概率为　　　　.
5.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研,)为普及安全知识,某单位举办了一场安全知识竞赛,经过初赛、复赛,有甲、乙两个代表队(每队三人)进入决赛,决赛规则如下:共进行三轮比赛,每轮比赛中每人各答一题,每答对一题得10分,答错不得分.假设甲队每人答题正确的概率均为,乙队三人答题正确的概率分别为.
(1)若决赛中三轮的总得分大于70分,则能获得特别奖,求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同,现进行附加赛.规则如下:甲、乙两队抽签决定谁先答题,每队每人各答题一次为一轮,有两人及以上答对就算答题成功,并继续下一轮答题,否则换另一队答题,连续两轮答题成功的队伍获胜,比赛结束.求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.BC　当第一次摸到白球、第二次摸到黑球时,甲与乙同时发生,即甲与乙不是互斥事件,显然也不是对立事件,A、D错误;
对于B,事件“第二次摸到黑球”与“两次都摸到白球”不会同时发生,是互斥事件,B正确;
对于C,由于是有放回地依次随机抽取,所以甲与乙是相互独立事件,C正确.故选BC.
2.C　记(x,y)表示第一枚骰子向上的点数为x,第二枚骰子向上的点数为y.
对于A,事件A,C都包含基本事件(3,5),(5,3),所以A与C不互斥,故A错误;
对于B,易得P(A)=,因为事件AC包含基本事件(3,5),(5,3),所以P(AC)=,
因为P(AC)≠P(A)P(C),所以A,C不相互独立,故B错误;
对于C,若第二枚骰子向上的点数是偶数,则两枚骰子向上的点数之积不可能为奇数,所以事件B和D互斥,故C正确;
对于D,因为P(B)=,P(BD)=0,且P(BD)≠P(B)P(D),所以B,D不相互独立,故D错误.故选C.
3.ACD　记该试验的样本点为(x1,x2),x1,x2分别表示第一次和第二次取到的球,
将3个白球分别标记为a,b,c,2个黑球分别标记为1,2.
有放回取球时的样本空间Ω1={(a,a),(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,c),(b,1),(b,2),(c,a),(c,b),(c,c),(c,1),(c,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),(2,2)},共25个样本点,
甲事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),(2,2),共10个,则P(甲)=,
乙事件包括的样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共15个,则P(乙)=,
而甲、乙的积事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共6个,则P(甲乙)=,
故甲、乙不为互斥事件,又P(甲乙)==P(甲)P(乙),所以甲、乙相互独立,故B中说法正确,D中说法错误;
不放回取球时的样本空间Ω2={(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,a),(b,c),(b,1),(b,2),(c,a),(c,b),(c,1),(c,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1)},共20个样本点,
甲事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),共8个,则P(甲)=,
乙事件包括的样本点有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共12个,则P(乙)=,
而甲、乙的积事件包含的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共6个,则P(甲乙)=,
故甲、乙不为互斥事件,又P(甲乙)=≠P(甲)P(乙),所以甲、乙不相互独立,故A、C中说法错误.
故选ACD.
4.D　由n(A)=30,n(B)=10,n(A∪B)=40,知n(A∪B)=n(A)+n(B),故A,B互斥,A错误;
n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=60,故A,D互斥且对立,B错误;
由A,D对立,n(C)=20,n(A∩C)=10,知n(D∩C)=10,故C与D不互斥,C错误;
由P(A)=,P(A∩C)=,知P(A∩C)=P(A)P(C),即A与C相互独立,D正确.故选D.
5.A　若经过3次测试恰好将2个次品全部找出,则第一次抽一个合格品、第二次抽一个次品、第三次抽一个次品,或第一次抽一个次品、第二次抽一个合格品、第三次抽一个次品,
则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率P=.故选A.
6.C　A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.7)×(1-0.7)=0.91,故系统正常工作的概率为0.91×0.9=0.819.故选C.
7.AD　“甲购买国产手机”记为事件A,则P(A)=0.6;“乙购买国产手机”记为事件B,则P(B)=0.5;
“甲购买白色手机”记为事件C,则P(C)=0.4;
“乙购买白色手机”记为事件D,则P(D)=0.6.
对于A,恰有一人购买国产手机的概率为P(AB)=0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.5,A正确;
对于B,两人都没购买白色手机的概率为P()=(1-0.4)×(1-0.6)=0.24,B错误;
对于C,“甲购买国产白色手机”记为事件E,则P(E)=P(AC)=0.6×0.4=0.24,C错误;
对于D,“乙购买国产白色手机”记为事件F,则P(F)=P(BD)=0.5×0.6=0.3,
则甲、乙至少一人购买国产白色手机的概率为P(EF∪EF)=0.24×0.3+0.24×(1-0.3)+(1-0.24)×0.3=0.468(另解:所求概率P=1-P()=1-(1-0.24)×(1-0.3)=0.468),D正确.故选AD.
方法总结　求复杂事件概率的两种方法
(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;
(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由1减去对立事件的概率得解.
当题目为“至多”“至少”型问题时多考虑用间接法,这也是“正难则反”思想的具体体现.
8.答案　
解析　至少有1人解对题目的概率是1-.
能力提升练
1.A　依题意可知,甲进入决赛的概率为,
乙进入决赛的概率为,
丙进入决赛的概率为,
所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率P=.故选A.
2.BCD　对于A,举例说明:设一个盒子里有标号为1到10的10个小球,从中摸出一个小球,记下球的编号,设事件A=“编号是偶数”,B=“编号是1,2,3”,C=“编号是奇数”,则满足P(A∪B∪C)=1,但是P(C)=0.5,A错误;
对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8,P(AB)=0,B正确;
对于C,如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3,则=0.6,C正确;
对于D,如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.5×0.3=0.65,P()=0.5×0.7=0.35,D正确.故选BCD.
3.答案　
解析　(1)第一局甲胜,第二局乙胜:
若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局,即乙第一局失败的概率为1-,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,
所以第一局甲胜,第二局乙胜的概率P1=;
(2)第一局乙胜,第二局甲胜:
若第一局甲执黑子先下,则乙胜第一局,即甲第一局失败的概率为1-,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为,
若第一局乙执黑子先下,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为,
所以第一局乙胜,第二局甲胜的概率P2=.
综上所述,甲、乙各胜一局的概率为.
4.答案　
解析　某人投1次小球获得三等奖,即小球从M处投入后落入C,共有三条线路,又因为小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性相等,
所以此人投1次小球获得三等奖的概率为.
5.解析　(1)设乙队每轮的得分为X分,乙队中三人答题正确分别为事件A,B,C,则P(A)=,
且P(X=20)=P(AB,
P(X=30)=P(ABC)=,
若乙队获得特别奖,则其三轮的总得分可以是90分,80分,此概率P=.
(2)甲队有两人答对的概率为,有3人答对的概率为,所以甲队答题成功的概率为,
由(1)知乙队答题成功的概率为P(X=20)+P(X=30)=.
若甲队先答第一轮,则满足题意的情况有两种:
①甲(胜)甲(负)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P1=,
②甲(负)乙(胜)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P2=;
若乙队先答第一轮,则满足题意的情况为
乙(负)甲(负)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P3=,
所以附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率P=.
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