2025苏教版高中数学必修第二册强化练习题--第3课时 距离、直线与平面所成的角（含答案）

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2025苏教版高中数学必修第二册
第3课时　距离、直线与平面所成的角
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2024江苏宿迁泗阳学情调研)在正三棱锥A-OBC中,顶点A在底面OBC内的射影为点D,OA=OB=1,则AD=(　　)
A.
2.(2024北京第三十五中学期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则棱BB1到平面AA1C1C的距离为(　　)
A.a
3.(2024湖南平江三中等多校学业水平考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,∠CAB=30°,且AC⊥BC,求BC到平面AB1C1的距离.
题组二　直线与平面所成的角
4.(2024江苏宿迁实验高级中学第一次调研测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ACC1A1所成的角为(　　)
A.
5.(2024江苏无锡太湖高级中学第一次阶段性考试)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则直线AC1与侧面AA1B1B所成的角的大小为　　　　.
6.(2023江苏南京第五高级中学阶段练习)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,D为BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)求证:C1A⊥B1C;
(3)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角.
能力提升练
题组一　距离问题
1.(2023江西九江统考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为△A1BD内一点(包括边界),且线段PA1的长度等于点P到平面ABCD的距离,则线段PA1长度的最小值是(　　)
A.
2.(2024江苏连云港锦屏高级中学阶段练习)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AD=2,PB与平面ABCD所成的角为,则点A到平面PBC的距离为(　　)
A.
3.(2023江苏南通期末)如图,PA是三棱锥P-ABC的高,线段BC的中点为M,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2.
(1)证明:BC⊥平面PAM;
(2)求点A到平面PBC的距离.
题组二　直线与平面所成的角
4.(2024江苏镇江扬中高级中学学情检测)木升在古代时多用来盛装粮食作物,是农家必备的用具.如图所示,某同学制作了一个高为40 cm的正四棱台木升模型.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上,且一个底面的中心与球O的球心重合,则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为(　　)
A.2　　B.
5.(2024江苏镇江实验高级中学月考)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹长度为　　　　　　.
6.(2024江苏南京期中调研)如图,在所有棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABB1=.
(1)证明:A1C1⊥B1C;
(2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　在正三棱锥A-OBC中,点A在底面OBC内的射影是点D,即为等边△OBC的中心,
已知OA=OB=1,可得OD=,
由AD⊥底面OBC,OD 底面OBC,可得AD⊥OD,
则在△ADO中,由勾股定理可得AD=.
故选D.
2.C　如图所示,连接B1D1,与A1C1交于点O,易知A1C1⊥B1D1,BB1∥平面AA1C1C.
又AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,
又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1 平面AA1C1C,所以B1D1⊥平面AA1C1C,
所以B1O的长即为棱BB1到平面AA1C1C的距离,而B1O=a,
所以棱BB1到平面AA1C1C的距离为a.故选C.
3.解析　由直三棱柱的性质得BC∥B1C1,
因为B1C1 平面AB1C1,BC 平面AB1C1,
所以BC∥平面AB1C1.
过点C作CH⊥AC1,垂足为H.
由题意得CC1⊥BC,又AC⊥BC,AC∩CC1=C,AC,CC1 平面ACC1A1,
所以BC⊥平面ACC1A1,
又CH 平面ACC1A1,所以BC⊥CH,
所以CH⊥B1C1,又B1C1∩AC1=C1,B1C1,AC1 平面AB1C1,所以CH⊥平面AB1C1,
所以CH的长即为BC到平面AB1C1的距离.
在Rt△ACC1中,AC1=,
CH=,
所以BC到平面AB1C1的距离为.
解题模板　求解直线到平面的距离时,需要先证明线面平行,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等,都是所求距离,所以求线面距的关键是选准恰当的点,将线面距转化为点面距.一般利用定义过点作垂线段或结合三棱锥的等体积法求点面距.
4.D　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,设A1C1∩B1D1=O,连接AO,
由正方体的性质得AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1 平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,
又A1C1⊥B1D1,A1C1∩AA1=A1,A1C1,AA1 平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,
于是∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角.
在Rt△AOB1中,∠AOB1=,
所以直线AB1与平面ACC1A1所成的角为.故选D.
5.答案　
解析　如图所示,取A1B1的中点G,连接C1G,AG,
∵△A1B1C1是等边三角形,
∴C1G⊥A1B1,
由正三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1,而C1G 平面A1B1C1,∴AA1⊥C1G,
又∵AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1 平面AA1B1B,∴C1G⊥平面AA1B1B,
又∵AG 平面AA1B1B,∴C1G⊥AG,
∴∠C1AG是直线AC1与侧面AA1B1B所成的角.
由已知得AC1=,
在Rt△AGC1中,sin∠C1AG=,
∵∠C1AG∈.
6.解析　(1)证明:设A1C∩AC1=O,连接DO,
∵四边形ACC1A1为正方形,∴O为A1C的中点,
又D为BC的中点,∴DO是△A1CB的中位线,
∴DO∥A1B,
又A1B 平面ADC1,DO 平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1.
(2)证明:∵四边形ACC1A1为正方形,∴C1A⊥A1C,
∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,
∵侧面ABB1A1是正方形,∴AB⊥AA1,
∵AC∩AA1=A,AC,AA1 平面ACC1A1,
∴AB⊥平面ACC1A1,
又C1A 平面ACC1A1,∴AB⊥C1A,
又A1B1∥AB,∴A1B1⊥C1A,
又A1B1∩A1C=A1,A1B1,A1C 平面A1B1C,
∴C1A⊥平面A1B1C,
又B1C 平面A1B1C,∴C1A⊥B1C.
(3)连接OB1,由(2)知C1A⊥平面A1B1C,
∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角,
∵C1O=C1B1,∴∠C1B1O=30°.
故直线B1C1与平面A1B1C所成角的大小为30°.
方法技巧　求直线与平面所成的角的关键是寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线,过垂足与斜足的直线即为直线在平面内的射影,斜线与其在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.
能力提升练
1.D　设直线A1P与BD交于点Q,连接AQ,过点P作AA1的平行线,交AQ于点M,
因为PM∥A1A,A1A⊥平面ABCD,
所以PM⊥平面ABCD,故PA1=PM.
设PA1=PM=x,则PQ=A1Q-x,
由PM∥AA1,知,
解得x=,
易得△A1BD为正三角形,所以∠A1BD=60°.
结合图可知A1Bsin 60°≤A1Q≤A1B,即A1Q∈],
所以线段PA1长度的最小值是3-.
故选D.
2.C　如图所示,过点A作AE⊥PB,垂足为E,
因为PA⊥平面ABCD,
所以∠PBA为PB与平面ABCD所成的角,则∠PBA=,
又AB 平面ABCD,所以PA⊥AB,又PA=1,所以AB=1,
所以PB=.
因为∠ABC=,所以BC⊥AB,
因为BC 平面ABCD,所以PA⊥BC,
又AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,
因为AE 平面PAB,所以BC⊥AE,
又AE⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,所以AE⊥平面PBC,
所以点A到平面PBC的距离等于AE的长,即.
故选C.
3.解析　(1)证明:因为AB=AC,M为BC的中点,
所以BC⊥AM.
因为PA是三棱锥P-ABC的高,所以PA⊥平面ABC,
因为BC 平面ABC,所以PA⊥BC.
因为PA,AM 平面PAM,PA∩AM=A,
所以BC⊥平面PAM.
(2)在△PAM中,过点A作AH⊥PM于点H,如图所示,
因为BC⊥平面PAM,AH 平面PAM,所以BC⊥AH.
因为BC,PM 平面PBC,PM∩BC=M,
所以AH⊥平面PBC.
在Rt△BAC中,AM=.
所以在Rt△PAM中,PM=,
所以AH=,
所以点A到平面PBC的距离为.
方法技巧　求点到平面的距离的关键是找到符合题意的三角形,然后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.
4.A　
信息提取　(1)正四棱台的8个顶点都在球面上;(2)正四棱台下底面的中心即外接球的球心;(3)正四棱台下底面四边形对角线的长等于球的直径;(4)在正四棱台的对角面中作辅助线,寻找所求角.
数学建模　以古代用来盛装粮食作物的农家必备的用具为背景建立数学中的正四棱台模型,结合此正四棱台和球的相对位置,利用空间点、线、面去刻画模型,重点是找到侧棱与底面所成的角,最后将所求转化为解直角三角形.
解析　根据题意,作出正四棱台的对角面,如图所示,
其中AD为正四棱台上底面正方形的对角线,BC为正四棱台下底面正方形的对角线,
O为外接球球心,也为线段BC的中点,连接OA,OD,则OD=OA=OB=OC=50,
过点D作DE⊥BC,垂足为E,则∠DCE即为所求角.
因为OD=50,DE=40,所以OE=30,所以EC=20,
所以该正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为=2.故选A.
5.答案　π+4
解析　若直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹为圆锥(以A为顶点,A1为底面圆的圆心)的侧面与正方体的表面的交线,
在平面ABB1A1内,点P的轨迹为对角线AB1(除掉A点,不影响);
在平面ADD1A1内,点P的轨迹为对角线AD1(除掉A点,不影响);
在平面A1B1C1D1内,点P的轨迹是以A1为圆心,2为半径的圆弧,
如图所示,
故点P的轨迹长度为π+4.
6.解析　(1)证明:连接AB1,在△ABB1中,∠ABB1=,
在△BCB1中,∠B1BC=,BC=BB1=1,所以B1C=1,
在△ACB1中,AB1==AC2+B1C2,所以AC⊥B1C.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,所以A1C1⊥B1C.
(2)解法一:连接A1B,与AB1交于点O,连接CO,BC1.
由题知四边形BCC1B1为菱形,则B1C⊥BC1.由(1)知B1C⊥A1C1.
因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1 平面A1BC1,所以B1C⊥平面A1BC1.
又A1B 平面A1BC1,所以B1C⊥A1B.
在正方形ABB1A1中,A1B⊥AB1.
因为AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面AB1C,所以A1B⊥平面AB1C.
又CO 平面AB1C,所以CO⊥A1B.
在Rt△ACB1中,O为AB1的中点,AC=B1C,所以CO⊥AB1.
因为A1B∩AB1=O,A1B,AB1 平面ABB1A1,所以CO⊥平面ABB1A1,
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角.
易得BO=,
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为.
解法二:取AB1的中点O,连接BO,CO.
在Rt△ACB1中,AC=B1C=1,所以CO⊥AB1,CO=,
在Rt△ABB1中,AB=BB1=1,所以BO⊥AB1,BO=.
又BC=1,所以OC2+OB2=BC2,所以CO⊥BO.
又因为AB1∩BO=O,AB1,BO 平面ABB1A1,所以CO⊥平面ABB1A1,
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角.
因为cos∠CBO=,
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为.
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