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2025苏教版高中数学必修第二册
第10章 三角恒等变换
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题p:tan α=2,q:cos 2α=-,则p是q的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知sin x-2cos x=sin(x+φ),则sin φ-2cos φ=( )
A.0 B.
C.-
3.如图所示,cos 2∠AOB=( )
A.
C.
4.已知a=,b=cos 330°,c=,则( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
5.已知α,β为锐角,sin,则β=( )
A.
C.
6.在△ABC中,已知=nsin C,=ncos C,若tan=-3,则n的值为( )
A.无解 B.2 C.3 D.4
7.古希腊数学家波克拉底曾研究过的几何图形如图所示,此图由三个半圆构成,直径分别为直角三角形ABC的斜边AB,直角边BC,AC,N为AC的中点,点D在以AC为直径的半圆上,已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,sin∠DAB=,则cos∠DNC的值为( )
A.
8.对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.最小正周期为2π
B.在区间上单调递增
C.当x=+kπ(k∈Z)时,函数取到最大值
D.若f(α)=,则tan α=2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个实数根,则下列关系式中一定成立的是( )
A.tan(α+β)=-
C.sin[2(α+β)]=
10.《周髀算经》中给出了弦图,弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,其中小正方形的面积为4,大正方形的面积为9,则下列说法正确的是( )
A.每一个直角三角形的面积均为
B.3sin β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.cos(α-β)=
11.重庆荣昌折扇(如图1)是中国四大名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长.”荣昌折扇的平面图如图2中的扇形COD所示,其中∠COD=,OC=3OA=3,动点P在弧上(含端点),连接OP交扇形AOB的弧于点Q,且(x>0,y>0),则下列说法正确的是( )
A.若y=2x,则· B.x+y∈
C.·∈·≥-2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知cos α=-<α<π,则sin= .
13.设f(x)=,则f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)= .
14.若关于x的方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点A(x1,y1),将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B(x2,y2),记f(α)=x1+x2.
(1)求f(α)的取值范围;
(2)若f(α)=,求tan α的值.
16.(本小题满分15分)在斜△ABC中,A≠B,2sin(2A-2B)=sin 2A-sin 2B.
(1)求tan Atan B的值;
(2)求的最小值.
17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2sin xsin+cos 2x.
(1)求f(x)的增区间和最值;
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有2个零点,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分17分)某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(其长度大于5米)的C点的正上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,广告牌底部的点E正好为DC的中点,自动扶梯AC的坡度为(即∠CAB=30°).某人在扶梯上的点P处(异于点C)观察广告牌的视角为∠DPE=θ,当此人在A点时,观察广告牌的视角(即∠DAE)的正切值为.
(1)设BC的长为m米,用m表示tan∠DAB;
(2)求自动扶梯AC的长度;
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长.
19.(本小题满分17分)定义:μ=[sin2(θ1-θ0)+sin2(θ2-θ0)+…+sin2(θn-θ0)]为实数θ1,θ2,…,θn对θ0的“正弦方差”.
(1)若θ1=,θ3=π,则实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值吗 证明你的结论;
(2)若θ1=,θ2=α,θ3=β,α∈,β∈(π,2π),实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值,求α,β的值.
答案与解析
第10章 三角恒等变换
1.B 由cos 2α=cos2α-sin2α=,解得tan α=±2,
故p q,qp,所以p是q的充分不必要条件.故选B.
2.C sin x-2cos x=sin xcos φ+cos xsin φ,
所以cos φ=,sin φ=-,则sin φ-2cos φ=-.故选C.
3.C 由题意知OA=,
则sin∠AOx=,cos∠AOx=,sin∠BOx=,cos∠BOx=,
故cos∠AOB=cos(∠AOx-∠BOx)=cos∠AOxcos∠BOx+sin∠AOxsin∠BOx
=,
故cos 2∠AOB=2cos2∠AOB-1=2×.故选C.
4.C 因为tan 45°=1,
所以a==tan(45°+16°)
=tan 61°>tan 45°=1.
b=cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.
c=
==cos 29°.
由y=cos x的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,
所以a>c>b.故选C.
5.C 因为α∈,所以α-∈,所以cos>0,
又sin,所以cos,
所以cos α=cos,
则sin α=.
因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)>0,
又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=,
所以β=.故选C.
6.A 由tan=-3,得tan A=2,则cos A≠0,
由=nsin C,=ncos C,知cos B,cos C≠0,则=tan C,则tan A=tan B·tan C=2,
因为tan A=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=-=tan B+tan C,
所以tan B+tan C=2,设tan B=t,则tan C=2-t,
所以t(2-t)=2,即t2-2t+2=0,其判别式Δ=4-8=-4<0,即该方程无解,故不存在这样的三角形,即n无解.故选A.
7.A 由以AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,可知其直径之比为∶1,即tan∠BAC=,
又∠BAC∈,所以∠BAC=,
因为sin∠DAB=,∠DAB∈,
所以cos∠DAB=,
则cos∠DAN=coscos∠DAB+sin∠DAB=,
故cos∠DNC=cos 2∠DAN=2cos2∠DAN-1=2×,故选A.
8.C 因为f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x,
所以f(x)的最小正周期T==π,故A不正确;
对于B,当x∈时,2x∈,由正弦函数y=sin x的单调性知B不正确;
对于C,当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)=(k∈Z),故C正确;
对于D,由f(α)=,得sin 2α=,即sin αcos α=,所以,即2tan2α-5tan α+2=0,解得tan α=或tan α=2,又α∈,所以tan α=,故D错误.故选C.
9.ABD ∵tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个实数根,
∴由根与系数的关系可得tan α+tan β=-,tan α·tan β=-.
对于A,tan(α+β)=,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,sin[2(α+β)]=2sin(α+β)cos(α+β)=
=,故C错误;
对于D,cos2(α+β)=,故D正确.
故选ABD.
10.ACD 由题可知,每一个直角三角形的面积均为(9-4)×,故A正确;
如图,设直角三角形中角α,β的对边分别为a,b,
则,a2+b2=9,
sin β=,cos β=,sin α=,cos α=,
则3sin β-3cos α=0,故B错误;
由B中分析知3sin β-3sin α=b-a,由,a2+b2=9得ab==2,所以3sin β-3sin α=b-a=2,故C正确;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故D正确.
故选ACD.
11.BC 如图,作OE⊥OC,以O为原点,OC,OE所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(1,0),C(3,0),B,
设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(3cos θ,3sin θ),
由可得cos θ=3x-y,sin θ=y,
若y=2x,则cos θ=3x-y=0,sin θ=1,所以=(0,3),又,所以·,故A错误;
易得y=sin θ,x=cos θ+sin θ,
所以x+y=sin θ+cos θ+sin θ=sin θ+cos θ=,
因为θ∈,所以θ+∈,
所以sin∈,所以x+y∈,故B正确;
由于=(1-3cos θ,-3sin θ),=--3cos θ,-3sin θ,
所以·=(1-3cos θ,-3sin θ)·--3cos θ,-3sin θ=,
由B知sin∈,
所以·∈,故C正确;
··(-2cos θ,-2sin θ)=-sin θ+3cos θ=-2,
由于θ∈,所以θ-∈,
所以-3≤-2≤3,即·∈[-3,3],故D错误.
故选BC.
12.答案
解析 由<α<π,得,故sin.
13.答案
解析 f(x)+f(60°-x)=
=,
所以f(28°)+f(32°)=,
所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2.
14.答案 [3,4)∪{+2}
解析 方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,即方程sin x+2cos x+2=m在x∈上有且只有一个实数解,即函数y=sin x+2cos x+2的图象和直线y=m在x∈上有且只有一个交点.
令f(x)=sin x+2cos x+2=sin(x+θ)+2,其中tan θ=2,不妨设θ为锐角,由x∈,可得x+θ∈,
所以当x+θ=,即x=-θ时, f(x)max=+2.
当x=0时, f(0)=0+2+2=4;
当x=时, f =1+0+2=3.
函数y=f(x)在x∈上的图象如图所示,
由图可知3≤m<4或m=+2,即实数m的取值范围为[3,4)∪{+2}.
15.解析 (1)由题意得∠AOB=,x1=cos α,x2=cos,(2分)
∴f(α)=x1+x2=cos α+cos=cos α+cos αcos-sin αsincos α-sin α=.(4分)
∵α为锐角,∴0<α<,
∴-,
∴f(α)的取值范围是.(6分)
(2)∵f(α)=,
∴cos,
又,(8分)
∴sin α=sin,(10分)
cos α=cos,
∴tan α=.(13分)
16.解析 (1)因为2sin(2A-2B)=sin 2A-sin 2B,
所以2sin[2(A-B)]=sin[(A+B)+(A-B)]-sin[(A+B)-(A-B)],
所以4sin(A-B)cos(A-B)=2cos(A+B)sin(A-B),(2分)
因为A≠B,-π
所以2cos(A-B)=cos(A+B),
所以2cos Acos B+2sin Asin B=cos Acos B-sin Asin B,
整理,得cos Acos B=-3sin Asin B,(4分)
因为△ABC为斜三角形,所以cos Acos B≠0,
所以tan Atan B=-.(7分)
(2)因为tan C=-tan(A+B)=-,
tan Atan B=-,
所以tan A+tan B=-tan C,(9分)
所以
=-3(tan A+tan B)+=4tan C+,(12分)
由tan Atan B=-<0可知,A和B中有一个是钝角,所以C为锐角,即tan C>0,
所以4tan C+≥4,当且仅当4tan C=,即tan C=时,等号成立,(14分)
所以的最小值为4.(15分)
解析 (1)f(x)=2sin xsin+cos 2x=2sin x·+cos 2x=sin2x+
sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x+.(3分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的增区间为,k∈Z.(6分)
易得f(x)的最大值为,最小值为-.(8分)
(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有2个零点,
则函数y=f(x),x∈的图象与直线y=a有且仅有2个交点.(11分)
由(1)可得当x∈时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又f(0)=1, f , f =0,
所以实数a的取值范围为.(15分)
18.解析 (1)因为在直角三角形ABC中,∠CAB=30°,∠B=90°,BC=m米,所以AB=m米,(2分)
因为DE=5米,E是DC的中点,所以DB=2DE+BC=(10+m)米,
所以在Rt△DAB中,tan∠DAB=.(5分)
(2)由(1)知tan∠DAB=.
易知在直角三角形EAB中,tan∠EAB=,
因为tan∠DAE=,∠DAB=∠EAB+∠DAE,
所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE)
=,
即,解得m=或m=5,(8分)
当m=时,AC=2m=5(舍去),
当m=5时,AC=2m=10,
所以自动扶梯AC的长度为10米.(10分)
(3)作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
设CQ=x米,则PQ=x米,PC=2x米,
由(2)可知x∈(0,5],tan∠DPQ=,tan∠EPQ=,(12分)
当tan∠DPE取最大值时,∠DPE最大,(13分)
易得tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)=
=≤,当且仅当x=时,等号成立,(16分)
所以当视角θ最大时,CP=2x=5(米).(17分)
19.解析 (1)“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值.(1分)
证明如下:若θ1=,θ3=π,
则μ=
=[1-cos(2π-2θ0)]
=
=(3分)
=
=(-cos 2θ0+cos 2θ0)=.(5分)
(2)由题意得,
μ=
=[1-cos(2β-2θ0)]
=
=(sin 2θ0+cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+cos 2βcos 2θ0+sin 2βsin 2θ0)
=[sin 2θ0(1+sin 2α+sin 2β)+cos 2θ0(cos 2α+cos 2β)],(7分)
因为μ的值是与θ0无关的定值,
所以(9分)
因为α∈,β∈(π,2π),所以2α∈(π,2π),2β∈(2π,4π),
由cos 2α+cos 2β=0可知,2α+2β=5π或2β-2α=π,即α+β=或β-α=,
若β-α=,则sin 2α+sin 2β=sin 2α+sin(π+2α)=0≠-1,故舍去.(11分)
对sin 2α+sin 2β=-1,cos 2α+cos 2β=0两式的等号两边分别平方后相加,可得2+2cos(2β-2α)=1,即cos(2β-2α)=-,
因为2β-2α∈(0,3π),所以2β-2α=或或,即β-α=或或.(13分)
当时,解得不满足题意;
当时,解得满足题意;
当时,解得满足题意.(16分)
故或(17分)
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2025苏教版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1 两角和与差的三角函数公式的应用
1.(2020全国Ⅲ理,9)已知2tan θ-tan=7,则tan θ=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.(2024全国甲理,8)已知=( )
A.2-1
C.
3.(2024新课标Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A.-3m B.-
C. D.3m
4.(2022新高考Ⅱ,6)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则( )
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
5.(多选题)(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cos α,
sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.||
B.||
C.
D.
6.(2024全国甲文,13)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是 .
考点2 二倍角的三角函数公式的应用
7.(2023新课标Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α==( )
A.
C.
8.(2021全国甲理,9)若α∈,则tan α=( )
A.
9.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=( )
A.-
10.(2022北京,5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( )
A. f(x)在上单调递减
B. f(x)在上单调递增
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)在上单调递增
11.(2023全国乙理,12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=的最大值为( )
A.
三年模拟练
应用实践
1.(2023陕西西安月考)已知sin α,cos α是方程5x2-=( )
A.
2.(2023江苏南京第五高级中学期末)若α,β∈,且(1-cos 2α)(1+
sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是( )
A.2α+β=
C.α+β=
3.(2024陕西咸阳模拟检测)当函数y=3sin x+4cos x取得最小值时,sin=( )
A.-
C.
4.(多选题)(2023湖南永州第一中学期末)已知cos(α+β)=-,其中α,β为锐角,以下判断正确的是( )
A.sin 2α=
C.cos αcos β=
5.(多选题)(2023江苏南通一中阶段练习)已知a=(cos θ,sin θ),b=
(cos φ,sin φ),则下列选项中可能成立的是( )
A.|a+b|=|a-b| B.|a-b|=1
C.(a+b)·(a-b)=1 D.|4a-5b|=6
6.(2024山东淄博二模)已知tan α,tan β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,有以下四个命题:
甲:tan(α+β)=-;
乙:tan αtan β=;
丙:;
丁:tan αtan βtan(α+β)-tan(α+β)=.
如果其中只有一个假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.(2022北京清华附中期末)已知函数f(x)=cos xsin x+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
8.(2024上海格致中学月考)已知其中a,b为常数,且a2+b2≠0.
(1)求cos(α-β);
(2)若b=1,a=0,求cos(α+β)cos(α-β);
(3)分别求sin(α+β),cos(α+β).
迁移创新
9.(2022江苏金湖中学期中)随着私家车的逐渐增多,居民小区“停车难”问题日益突出.为缓解“停车难”问题,某市某居民小区拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.
(1)按规定,地下停车库坡道口上方要张贴限高标志,以告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据图1所示数据计算限定高度CD的值;(精确到0.1 m,参考数据:sin 20°≈0.342 0,cos 20°≈0.939 7,tan 20°≈0.364 0)
(2)在车库内有一条直角转弯车道,车道的平面图如图2所示,车道宽为3 m,现有一辆转动灵活的小汽车,其水平截面为矩形MNRS,它的宽MS为1.8 m,直线RS与直角车道的外壁相交于E,F.
①若小汽车卡在直角转弯车道内(即M,N分别在PE,PF上,点O在RS上),∠PMN=θ rad,求矩形MNRS的长(即MN的长,用θ表示);
②若矩形MNRS的长(即MN的长)为4.4 m,那么此车理论上能否顺利通过此直角转弯车道 (参考数据:≈1.414)
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.D 2tan θ-tan=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,∴tan θ=2.故选D.
2.B
=
-1.
3.A 由题意得
所以
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A.
C 因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-
sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-
2sin αsin β,所以sin α·cos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=
2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,易知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
5.AC A中,∵|
|,故A正确.
B中,易知|,
|
|是否成立,故B不正确.
C中,∵=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),
=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)
=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
∴,故C正确.
D中,∵=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,
=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))
=cos β·cos(α+β)-sin β·sin(α+β)
=cos(β+α+β)=cos(α+2β),
∴不一定成立,故D不正确.
故选AC.
6.答案 2
解析 f(x)=sin x-,
易知当x-时,f(x)取得最大值,且f(x)max=2.
7.D ∵cos α=1-2sin2,
∵α为锐角,∴.故选D.
8.A ∵tan 2α=,
∴,
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,
又cos α≠0,∴4sin α=1,
∴sin α=.
故选A.
9.C
==sin θ(sin θ+cos θ)
=sin2θ+sin θcos θ=
=.故选C.
10.C f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ对于A, f(x)在上单调递增,故A错误;
对于B, f(x)在上单调递减,故B错误;
对于C, f(x)在上单调递减,故C正确;
对于D, f(x)在上单调递增,故D错误.故选C.
11.A 连接OA,OD,由题意得|OA|=1,∠OAP=90°,
又|PO|=.
设∠APD=θ,则,
当且仅当θ=时取等号,故选A.
三年模拟练
1.D 因为sin α,cos α是方程5x2-x-2=0的两个不相等的实数根,
所以sin α+cos α=,
因为α∈(0,π),且sin α·cos α<0,
所以sin α>0且cos α<0,
所以cos α-sin α<0,
所以cos
=
=-
=-.
故选D.
2.A ∵α,β∈,∴sin α≠0.
由(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,
可得2sin2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,
即sin α(1+sin β)=cos αcos β.
∴sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
∴cos(α+β)=cos,
∵α,β∈-α<0,
∴α+β=.故选A.
A 由辅助角公式可得y=3sin x+4cos x=5sin(x+θ),其中
cos θ=,
当x+θ=-+2kπ,k∈Z时,y取得最小值,此时x=-θ-+2kπ,k∈Z,
故cos x=-sin θ=-,
故sin.故选A.
4.AC 因为α为锐角,cos 2α=-,
所以2α∈(0,π),sin 2α=,故A正确;
因为α,β为锐角,cos(α+β)=-,故B错误;
cos αcos β=,故C正确;
sin αsin β=,故D错误.故选AC.
规律总结 在三角恒等变换的相关问题中可以应用公式:
cos αcos β=[cos(α-β)-cos(α+β)]来简化解题过程.
5.ABD a+b=(cos θ+cos φ,sin θ+sin φ),a-b=(cos θ-cos φ,sin θ-
sin φ),|a+b|2=(cos θ+cos φ)2+(sin θ+sin φ)2=2+2(cos θcos φ+sin θ·
sin φ)=2+2cos(θ-φ),
|a-b|2=(cos θ-cos φ)2+(sin θ-sin φ)2=2-2(cos θcos φ+sin θsin φ)=2-2cos(θ-φ),
若θ=φ+,则|a+b|2=|a-b|2=2,故|a+b|=|a-b|,A可能成立;
若θ=φ+,则|a-b|2=1,|a-b|=1,B可能成立;
(a+b)·(a-b)=(cos θ+cos φ,sin θ+sin φ)·(cos θ-cos φ,sin θ-sin φ)=cos2θ-cos2φ+sin2θ-sin2φ=(cos2θ+sin2θ)-(cos2φ+sin2φ)=1-1=0,故C不可能成立;
|4a-5b|2=(4cos θ-5cos φ)2+(4sin θ-5sin φ)2=16+25-40(cos θcos φ+sin θ·
sin φ)=41-40cos(θ-φ),
当cos(θ-φ)=时,|4a-5b|2=36,故|4a-5b|=6,D可能成立.故选ABD.
6.B 因为tan α,tan β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,所以tan α+tan β=-
,故乙为假命题,丁为真命题.故选B.
7.解析 (1)∵f(x)=cos xsin x+sin2x
=,
∴函数f(x)的最小正周期为=π,
令-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=sin.
∵x∈,
则sin,
∴函数f(x)的最大值为.
8.解析 (1)由
得
①+②,得2+2cos αcos β+2sin αsin β=a2+b2,
∴cos αcos β+sin αsin β=-1.
(2)由(1)知,当b=1,a=0时,cos(α-β)=.
由和差化积公式知sin α+sin β=2sin,
cos α+cos β=2cos,
∴=0,
∴cos(α+β)=2cos2-1=-1,
∴cos(α+β)cos(α-β)=(-1)×.
(3)由(2)知
当a=0时,由a2+b2≠0可得b≠0,
∴cos-1=-1,
∴sin(α+β)=0;
当b=0时,由a2+b2≠0可得a≠0,
∴sin=1,
∴sin(α+β)=0;
当a≠0且b≠0时,tan,
由万能公式得cos(α+β)=,
sin(α+β)=.
验证可知,当a=0或b=0时,cos(α+β)=都成立.
综上所述,cos(α+β)=.
解题模板 三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化.
(2)对于含三角函数式的分式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分.
(3)对于二次根式,注意利用倍角公式升幂.
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.
(5)利用“1”的恒等变形,如tan 45°=1,sin2α+cos2α=1等.
9.解析 (1)在△ABH中,∠ABH=90°,∠BAH=20°,
tan∠BAH=,AB=10 m,
则BH=AB·tan∠BAH=10tan 20°≈3.640(m),
又BC=0.6 m,所以CH=BH-BC=3.040(m),
在△CDH中,CD⊥AH,∠HCD=∠BAH=20°,cos∠HCD=,
则CD=CH·cos∠HCD=3.040cos 20°≈3.040×0.939 7≈2.857(m),所以限定高度CD的值约为2.8 m.
①EF=OE+OF=
m,RF=RNtan θ=1.8tan θ m,
则MN=RS=EF-(RF+SE)
=
=
=.
②设sin θ+cos θ=t,
则t=,
令g(t)=]上单调递减,
故当t=-3.6,
因为6-3.6≈8.484-3.6=4.884>4.4,
所以此车理论上能够顺利通过此直角转弯车道.
素养评析 本题第(1)问主要考查数学运算的核心素养,要求学生能够利用已知条件和三角函数求解长度,达到了水平一;本题第(2)问还考查了逻辑推理和数学建模的核心素养,要求学生能够利用数学知识解决实际问题,能通过换元求最值,达到了水平二.
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2025苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对公式结构把握不准确致错
1.(2024安徽示范高中皖北协作区联考)已知tan(α-β)=,sin(α-β)=3cos(α+β),则tan α-tan β=( )
A.
2.(2022湖南师大附中开学考试)已知.
(1)求tan α的值;
(2)若β∈,求α+β的值.
易错点2 忽略角的范围致错
3.(2023重庆万州第二高级中学阶段练习)若0<α<=( )
A.
4.(2024四川内江第六中学月考)已知sin(2α-β)=<β<0.
(1)求cos 2α的值;
(2)求角α-β的大小.
易错点3 不能正确利用角之间的特殊关系致错
5.(2024江苏徐州睢宁第一中学模拟)已知sin= .
6.(2023江苏泰州期末)从下面①②③中选取一个作为条件,完成后面所给的两个问题.
①cos; ③sin.
(1)求cos2的值;
(2)若0思想方法练
一、函数与方程思想在三角恒等变换中的应用
1.若α∈(0,π),且sin α+cos α== .
2.已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围为 .
二、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用
3.(2023北京海淀实验中学月考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sin α=,则cos(α-β)=( )
A.1 B.-1 C.-
4.(多选题)(2024吉林G6教考联盟期末)若=1,则角θ的取值范围可能为( )
A.
C.
三、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
5.(2024贵州黔西南州部分学校第一次模拟)已知θ∈=( )
A.
6.(2024江苏南京期末联考)已知α∈的值为( )
A.
C.
7.(2024吉林普通高中第三次模拟)已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,则tan β的最大值为 ( )
A.
8.(2023江苏连云港高级中学月考)已知0<β<,求sin(α+β)的值.
9.(2024四川成都树德中学月考)若sin 2α=,求角α+β的值.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C 因为sin(α-β)=3cos(α+β),所以=3,
即=3,
又tan(α-β)=,
所以,显然tan α≠tan β,
所以4(1-tan αtan β)=1+tan αtan β,
解得tan αtan β=,
所以tan α-tan β=3(1-tan αtan β)=3×.
故选C.
易错警示 在使用两角和与差的正、余弦公式时不要把“+”“-”以及函数名称记错,两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相异”,两角和与差的正弦公式可简记为“异名相乘,符号相同”.
2.解析 (1)∵=-8,
∴.
(2)∵β∈,
又cos,
∴cos β=cos
,
∴tan(α+β)==1,
又∵α∈,
∴α+β=.
3.C 因为0<α<,
所以sin(α+β)=,
cos.
所以cos.
故选C.
易错警示 在求三角函数值时要注意角的范围,由角的范围确定三角函数值的符号;在由三角函数值求角时,要先确定角的范围,特别是要注意根据三角函数值的正负写出角的隐含范围.
4.解析 (1)因为<α<π,所以π<2α<2π.
又-.
而sin(2α-β)=,
(除了条件中明确给出的α,β的范围之外,还要根据sin(2α-β)的符号,进一步精确2α-β的取值范围)
所以cos(2α-β)=.
由-,
所以cos 2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β=.
(2)因为cos 2α=2cos2α-1=<α<π,
所以cos α=-,
则sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cos α-cos(2α-β)sin α=.
又.
5.答案 5
思路点拨 所求角与已知角之间没有明显的特殊关系,但由条件等式的右边含有,将待求式中的角用x表示,然后结合万能公式进行求解.
解析 设x=2α-,
整理可得sin x+cos x=,
由万能公式可得sin x+cos x=,
由x=2α-,
故tan,
由诱导公式可得tan,
由两角和的正切公式可得tan,
故tan=5.
方法技巧 求解本题的关键是角的变换,仔细探求已知角与所求角之间的关系,首先从和、差的角度看能否得到特殊角,或从倍数、半角关系分析有无关联,当这些关系不易寻找时,可以考虑换元,以明确角之间的关系.
6.解析 cos,
sin,
故从①②③中任选一个,结果均相同,以下按照选①进行解答.
(1)cos2
=1-cos2.
(2)因为0若-,
所以sin,
所以sin.
易错警示 在求三角函数值时,要注意分析所给式子与所求式子结构之间的关系,必要时可以利用诱导公式进行正、余弦的互化,如本题中,可通过诱导公式把sin.
思想方法练
1.答案
解析 解法一:由sin α+cos α=.
又α∈(0,π),∴α∈,
∴sin α-cos α>0,
∴(sin α-cos α)2=1-sin 2α=,
∴sin α-cos α=.
构建关于sin α,cos α的方程组,求出sin α,cos α的值,体现了方程思想.
联立
∴.
解法二:构建关于sin α,cos α的方程组,求出sin α,cos α的值,体现了方程思想.
由
∵α∈(0,π),∴sin α>0,∴
∴.
2.答案 (-1,1)
解析 令sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,
所以sin θ+cos θ+sin θcos θ=.
构建关于t的二次函数,再结合t的范围求解.
因为θ∈,
所以sin,
所以t=sin θ+cos θ=∈(-1,1).
所以(t+1)2-1∈(-1,1),
故sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是(-1,1).
思想方法 三角恒等变换问题中,常通过相关公式得到方程(组),以达到求解的目的,这是方程思想的重要体现;在求解范围(或最值)问题时,可通过构造相关的函数,利用函数的性质求解,体现了函数思想.
3.C ∵角α与角β的终边关于y轴对称,sin α=>0,
∴α和β的终边不可能在第三、四象限内,也不可能在坐标轴上,
根据角α的终边在第一或第二象限内,分情况讨论,体现了分类讨论思想.
①若角α的终边在第一象限内,则cos α=,
由题知α+β=π,则β=π-α,
∴sin β=sin(π-α)=sin α=,
cos β=cos(π-α)=-cos α=-,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=;
②若角α的终边在第二象限内,则cos α=-,
由题知α+β=π,则β=π-α,
∴sin β=sin(π-α)=sin α=,
cos β=cos(π-α)=-cos α=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=.
故选C.
4.BD
=,
则=1,满足条件;若角θ的终边不在坐标轴上,则cos θ与sin θ异号,θ为第二或第四象限角,
不能确定角θ的终边位置,需要对其进行分类讨论,体现了分类讨论思想.
结合选项,不妨令θ∈,
若θ∈;
若θ∈=1,所以cos θ+sin θ>0,
所以θ∈.
故选BD.
思想方法 三角恒等变换问题涉及的分类讨论主要是开方或去根号时对符号的确定,解题时我们往往需要先取结果的绝对值,再在去绝对值符号时对里面的式子的正负进行讨论,常通过讨论角的终边所在位置判断正负.
5.A 因为tan,
所以(*),
因为,所以tan θ>1,
所以由(*)式得2tan2θ-5tan θ+2=0,解得tan θ=2或tan θ=(舍去),
故
.
使分子、分母同除以cos2θ,将含正弦、余弦的求值式转化为关于正切的求值式,体现了转化与化归思想的应用.
6.A 因为β-
后求值.
∵α∈,β为锐角,
∴α-.
∵cos,
∴sin.
∵β-,
∴sin
=-cos
=-cos(α+β)cos
=-.故选A.
7.A ∵β为锐角,∴cos β≠0,
又cos(α+β)==cos αcos β-sin αsin β,
∴cos α-sin αtan β=,
∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β,
∵α为锐角,∴tan α>0,
∴tan β=,
将求tan β的最大值问题转化为求只含tan α的式子的最大值问题,再结合基本不等式求解,体现了转化与化归思想的应用.
当且仅当3tan α=时取等号,
∴tan β的最大值为.故选A.
8.解析 ∵0<β<<π.
∵sin,
∴cos.
∵-α<0,
∵cos,
∴sin,
∴cos.
∵cos=-sin(α+β),
通过诱导公式将求α+β的正弦值转化为求
-α的差的余弦值,充分体现了转化与化归思想.∴sin(α+β)=.
9.解析 因为α∈,
又sin 2α=,
所以cos 2α=-.
因为β∈,
又sin(β-α)=,
所以cos(β-α)=-,
故cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-,
将求角α+β的值转化为求角α+β的余弦值,再根据条件转化为求2α+(β-α)的余弦值.
又α+β∈.
思想方法 转化与化归思想是三角恒等变换问题中最基本、应用最广泛的数学思想,它贯穿于三角恒等变换问题的始终,在解题过程中要认真体会并理解,学会灵活应用.在解决问题时,要注意“三看”:(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;(2)看名称,把一个式子尽量化成关于同一三角函数名称的式子;(3)看式子,看它是否满足三角函数的相关公式,如果满足,则直接使用公式;如果不满足,则转化角或转换三角函数名称,使其可以使用公式.
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