2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.若且就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为( )
A. B. C. D.
7.某班有学生人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有人已知该班学生每人至少参加了个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，中都至少有两个元素，并且满足下列条件：集合，中的元素都为正数；对于任意，，都有；对于任意，，都有；则下列说法正确的是( )
A. 若有个元素，则有个元素 B. 若有个元素，则有个元素
C. 若有个元素，则有个元素 D. 存在满足条件且有个元素的集合
9.如果，那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 的最小值为
11.已知，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
13.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，求实数的范围．
16.本小题分
如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元不计靠墙一面的造价，设垃圾池的高为，最高，
试将垃圾池的总造价元表示为的函数，并指出的取值范围；
怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？
17.本小题分
已知，．
求证：函数在区间上是增函数；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
已知函数，．
当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
当，时，解关于的不等式；
当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．
19.本小题分
已知集合为非空数集定义：，．
Ⅰ若集合直接写出集合，；
Ⅱ若集合，，且求证：；
Ⅲ若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
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15.解：由时，集合，，
所以；
当，即时，集合，符合，
当时，由，有，解得，
综上可知，若，则的范围是．
16.解：无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为，则宽，
可得，即，；
，
当且仅当，即时取等号．
故当垃圾池的高为，宽为时，垃圾池总造价最低为元．
17.证明：令，，且，
则
，
，，且，
，，，
则，
即，
函数在区间上是增函数；
解：由知，函数在区间上是增函数，
又，
函数在区间上的值域为．
18.解：当时，可得，，
对任意，关于的不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即当时，的最大值为，所以，
所以实数的取值范围；
当，时，即解不等式，
可得，
当时，成立，
当时，得，即解，
解得；
当且时，得，解得，
综上所述，不等式的解集为；
证明：由，可得，
可得，
因为点，均为函数与函数图象的公共点，
可得，
，
两式相减得，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，
解得，
所以．
19.解：Ⅰ，，，
集合，集合．
Ⅱ证明：，，且，
中也只包含个元素，即，
剩下的元素满足，
，，
，．
Ⅲ 设 满足题意，其中，
则，
，，，
，，
中最小的元素为，最大的元素为，
，，，
设，，
则，，
因为，可得，即，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是．
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