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2025苏教版高中数学必修第二册
第14章 统计
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列调查中,调查方式选择合理的是( )
A.了解某市高一年级学生的身高情况,选择普查
B.了解长征运载火箭的设备零件质量情况,选择抽样调查
C.了解一批待售袋装牛奶中的细菌数是否达标,选择普查
D.了解一批炮弹的杀伤力,选择抽样调查
2.总体由编号分别为01,02,…,30的30个个体组成.利用下面所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表的第1行第3列开始,由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
(第1行)1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
(第2行)1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A.20 B.26
C.17 D.03
3.某中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动,组织“一带一路”知识竞赛,并对学生成绩进行了汇总整理,作出如下频率分布直方图(图中各组区间除最后一组为闭区间外,均为左闭右开区间).则该校学生“一带一路”知识竞赛分数的第60百分位数约为( )
A.72 B.76 C.78 D.85
4.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线统计图如图所示,则下列说法错误的是( )
A.这10天中PM2.5日均值的众数为33 μg/m3
B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32 μg/m3
C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D.这10天中PM2.5日均值开始4天的方差大于最后4天的方差
5.某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60),…,[90,100],并画出频率分布直方图如图所示,则( )
A.成绩在区间[90,100]内的人数为5
B.抽出的学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为55%
D.若从成绩在70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到成绩排在第一名学生(第一名只有一人)的可能性大小为
6.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的,图中每个扇形的圆心角都是相等的,半径长短表示数量大小.某机构统计了2016年至2023年某国知识付费用户数量(单位:亿人次),并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示),根据此图,以下说法错误的是( )
A.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加
B.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多
C.2016年至2023年,知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D.2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍
7.已知某4个数据的平均数为6,方差为3,现再加入一个数据8,则这5个数据的方差为( )
A.
C.
8.根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬,某地将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有4组样本①②③④,它们各自的数据特征如下:①平均数<4;②平均数<4且极差小于或等于3;③平均数<4且标准差s≤4;④众数等于5且极差小于或等于4.
则4组样本中一定符合入冬标准的有( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了200名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图如下,则下列结论正确的是( )
A.男生人数为80 B.B层次中男、女生人数相差最大
C.D层次中男生人数多于女生人数 D.E层次中女生人数最少
10.为了更好地支持中小型企业的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当减免.现调查了当地的100家中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,则下面结论正确的是( )
A.样本在区间[500,700]内的频数为18
B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受税收减免政策,那么可估计当地有30%的中小型企业能享受到税收减免政策
C.样本的中位数小于350万元
D.估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
11.甲同学投掷骰子5次,并请乙同学将向上的点数记录下来,计算出平均数和方差.由于记录遗失,乙同学只记得这5个点数的平均数为2,方差在区间[1.2,2.4]内,则这5个点数( )
A.众数可能为1
B.中位数可能为3
C.一定不会出现6
D.出现2的次数不会超过2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知一组数据x1,x2,…,x10的方差为4,若数据a+bx1,a+bx2,…,a+bx10(a,b∈R)的方差为36,则b的值为 .
13.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含量x与药物功效y之间满足关系式y=15x-2x2,检测这种药品一个批次的6个样本,得到成分甲的含量x的平均值为5,标准差为,则这批中医药的药物功效y的平均值为 .
14.在一次文艺比赛中,12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分,下面是两组评委对同一选手的打分:
小组A:42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45;
小组B:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.
B小组所打分数的第75百分位数是 ;从评委打分的相似性上看更像专业人士组成的小组是 小组.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)坐位体前屈是中小学生体质健康测试项目,主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性,在对某高中1 500名高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的调查中,采用分层抽样的方法按学生性别抽取100人,已知这1 500名学生中男生坐位体前屈成绩有900人,且抽取的样本中男生坐位体前屈成绩的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36 cm2,女生坐位体前屈成绩的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56 cm2.
(1)求抽取的总样本的平均数;
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式:总体分为2层的分层抽样中,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为n1,.记总样本的平均数为,样本方差为s2,则s2=)2]}.
16.(本小题满分15分)某稻谷试验田试种了A,B两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量(单位:kg),情况如下表,记A,B两个品种各10亩产量的平均数分别为和,方差分别为和.
A(单位:10 kg) 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
B(单位:10 kg) 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数;
(2)求;
(3)依据以上计算结果进行分析,推广种植A品种还是B品种水稻更合适.
17.(本小题满分15分)某电子产品制造企业为了提升生产效率,对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取1 000件,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表.
质量 指标值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95]
产品件数 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)设[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数,s精确到个位,an=5·,bn=5·(n∈N*),根据检验标准,技术升级改造后,若质量指标值有65%落在[a1,b1]内,则可以判定技术改造后的产品质量初级稳定;若有95%落在[a2,b2]内,则可以判定技术改造后的产品质量稳定,可认为生产线技术改造成功.根据样本数据是否可以判定该生产线技术改造成功.
18.(本小题满分17分)某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:吨)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,绘制成频率分布直方图(如图所示).
(1)求频率分布直方图中t的值;
(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m吨,求m的值;
(3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50吨的正常收费,若超过50吨,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表)
19.(本小题满分17分)某高三年级在某次月考后,对文科班100位学生的数学成绩作了统计分析,发现其中低于100分的有60位学生,且他们的成绩X都在[75,100)内.
(1)对他们的考试分数以5为组距画频率分布直方图时,发现Y满足:Y=5n≤X<5(n+1).
试求k的值,并估计低于100分的学生成绩的平均值;
(2)若在原始数据中,低于100分的学生成绩的平均值为70分,方差为400分2,如果计算所有100位学生成绩的原始数据,得其平均值为94分,方差为1 300分2,请求出数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值和方差.
答案与解析
第14章 统计
1.D A中调查总体中的个体数太大,普查的意义不大,不适合用普查,B中调查对精确度要求较高,应该用普查,C,D中调查具有破坏性,应用抽样调查.故选D.
2.D 从题中随机数表的第1行第3列开始,由左到右一次选取两个数字,选出的编号依次为12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03,…,
剔除掉总体编号以外的编号,以及重复的编号,
则选出来的个体的编号依次为12,13,20,26,03,…,
所以选出来的第5个个体的编号为03.
故选D.
3.B 由题中频率分布直方图知,分数在区间[50,60)内的频率为1-(0.027+0.025+0.016+0.014)×10=0.18,即a=0.018,
则在区间[50,70)内的频率为0.18+0.027×10=0.45,在区间[50,80)内的频率为0.18+0.027×10+0.025×10=0.7,
所以第60百分位数在区间[70,80)内,设为x,则,解得x=76.
故选B.
4.C 由题图可知,众数为33 μg/m3,中位数为32 μg/m3,故A,B中说法正确;因为受极端值128 μg/m3的影响,所以平均数应大于中位数,故C中说法错误;因为开始4天数据的波动程度比最后4天数据的波动程度大,所以开始4天的方差大于最后4天的方差,故D中说法正确.故选C.
5.B 成绩在区间[90,100]内的人数为60×0.005×10=3,故A错误.
抽出的学生的平均成绩是45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分),故B正确.
60分及以上的频率之和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以及格率为75%,故C错误.
成绩在70分以上(包括70分)的学生有60×(0.03+0.025+0.005)×10=36(人),
所以选到成绩排在第一名学生的可能性大小为,故D错误.故选B.
6.C 对于A,由题图可知,2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加,故A中说法正确;
对于B和C,知识付费用户数量(单位:亿人次)的逐年增加量分别为:2017年,0.96-0.48=0.48,2018年,1.88-0.96=0.92,2019年,2.95-1.88=1.07,2020年,3.56-2.95=0.61,2021年,4.15-3.56=0.59,2022年,4.77-4.15=0.62,2023年,5.27-4.77=0.5,
则知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多,知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增的,故B中说法正确,C中说法错误;
对于D,由5.27>10×0.48,知2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍,故D中说法正确.
故选C.
7.C 设原来的4个数据依次为a,b,c,d,则a+b+c+d=24,
由原方差为3,得[(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=3,
即[(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=12,
所以(a2+b2+c2+d2)-12(a+b+c+d)+36×4=12,
则a2+b2+c2+d2=12+12×24-36×4=156,
再加入一个数据8,则其平均数为,
则这5个数据的方差为
=
=.
故选C.
8.B ①举反例:0,0,0,4,11,其平均数=3<4,但不符合入冬标准;
②假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3可知,该组数据中的最小值大于或等于7,此时数据的平均数必然大于7,与<4矛盾,假设错误,则此组数据全部小于10,符合入冬标准;
③举反例:1,1,1,1,11,其平均数=3<4,标准差s=4,但不符合入冬标准;
④当众数等于5且极差小于或等于4时,该组数据中最大的数不超过9,符合入冬标准.故选B.
9.ABD 由题图知,抽取的女生有18+48+30+18+6=120(人),所以抽取的男生有200-120=80(人),故A正确;
B层次的男生占1-10%-15%-20%-25%=30%,则A,B,C,D,E五个层次中的男生人数分别为8,24,20,16,12,则A,B,C,D,E五个层次中男、女生相差的人数分别为10,24,10,2,6,故B层次中男、女生人数相差最大,故B正确;
D层次中男生有16人,女生有18人,男生人数少于女生人数,故C错误;
E层次中的女生人数最少,故D正确.
故选ABD.
10.AB 由题中频率分布直方图得,100×(0.001+0.002+0.002 6×2+a+0.000 4)=1,解得a=0.001 4,所以样本在区间[500,700]内的频数为100×(0.001 4+0.000 4)×100=18,故选项A正确;
年收入在300万元以内的企业的频率为100×(0.001+0.002)=0.3,所以估计当地有30%的中小型企业能享受到税收减免政策,故选项B正确;
100×(0.001+0.002)=0.3<0.5,100×(0.001+0.002+0.002 6)=0.56>0.5,故中位数位于区间[300,400)内,设中位数为x万元,则(x-300)×0.002 6=0.5-0.3,解得x≈377>350,故选项C错误;
平均数为150×0.1+250×0.2+350×0.26+450×0.26+550×0.14+650×0.04=376(万元)<400万元,故选项D错误.故选AB.
11.ACD 解法一:若5个点数分别为1,1,1,2,5,则众数为1,平均数为2,方差s2=2.4∈[1.2,2.4],∴A正确.
假设中位数为3,设5个点数分别为a1,a2,a3,a4,a5(a1≤a2≤a3≤a4≤a5),则a3=3,a1+a2≥2,a4+a5≥6,由平均数为2得a1+a2+a4+a5=7,与假设相矛盾,∴B错误.
假设点数出现6,则其他4个点数之和为4,即数据为1,1,1,1,6,其方差s2=4 [1,2,2.4],与已知相矛盾,∴C正确.
若2出现3次,则其他2个点数之和为4,即数据为1,2,2,2,3,其方差s2=0.4 [1.2,2.4],即2不能出现3次,同理2不能出现4次或5次,∴出现2的次数不会超过2,∴D正确.
解法二:设向上的点数分别为x1,x2,x3,x4,x5,
则x1+x2+x3+x4+x5=10,
(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2∈[6,12].
对于A,不妨取x1=x2=x3=1,x4=3,x5=4,则(xi-2)2=8∈[6,12],故A正确.
对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,则x3=3,∴x5≥x4≥3,x2≥x1≥1,∴x1+x2+x3+x4+x5≥11,不可能为10,故B错误.
对于C,若出现6,则(xi-2)2>12,与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故不可能出现6,故C正确.
对于D,假设2至少出现3次,不妨设x1=x2=x3=2,则x4+x5=4,(x4-2)2+(x5-2)2=2(x4-2)2<6,这与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故D正确.
故选ACD.
12.答案 3或-3
解析 设数据x1,x2,…,x10的平均数为,方差为s2,则,
s2=)2+…+(x10-)2]=4,
设数据a+bx1,a+bx2,…,a+bx10(a,b∈R)的平均数为',方差为s'2,
则,
s'2=')2+…+(a+bx10-')2]
=)2+…+(bx10-b)2]=b2s2=4b2=36,
所以b=3或b=-3.
13.答案 15
解析 设6个样本中药物成分甲的含量分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则xi+150=5,可得=180.
又y=15x-2x2,所以=90,
所以这批中医药的药物功效的平均值为yi=15.
14.答案 67;A
解析 将小组B的打分数据从小到大排序为36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,因为12×75%=9,所以B小组所打分数的第75百分位数是=67.
×(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)≈47,
故×[(42-47)2+(45-47)2+…+(45-47)2]≈14.08,
×(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)≈56,
故×[(55-56)2+(36-56)2+…+(47-56)2]=139.
因为,所以A小组更像专业人士组成的小组.
15.解析 (1)设分别抽取m名男生和n名女生的坐位体前屈成绩,则,(2分)
解得m=60,n=40.(4分)
所以抽取的总样本的平均数为×15.2=14(cm).(8分)
(2)记总样本的方差为s2 cm2,
则s2=×{60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16(cm2).(12分)
所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16 cm2.(13分)
16.解析 (1)由题表中数据可知,A品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为50,60,63,63,63,64,71,75,76,85,故A品种产量(单位:10 kg)的极差为85-50=35,中位数为=63.5;(2分)
B品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为56,60,62,62,63,68,70,75,76,78,B品种产量(单位:10 kg)的极差为78-56=22,中位数为=65.5.(4分)
(2)由题意得=67(10 kg),(6分)
=67(10 kg),(8分)
×[(60-67)2+(63-67)2+…+(64-67)2]=88(100 kg2), (10分)
×[(56-67)2+(62-67)2+…+(70-67)2]=51.2(100 kg2). (12分)
(3)结合(2)知A,B两个品种水稻的产量平均数一样,但是B的方差较小,较稳定,所以推广种植B品种水稻更合适.(15分)
17.解析 (1)由题可得=30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61,(3分)
s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90-
61)2×0.08=241.(7分)
(2)由s2=241得s≈16,(8分)
则a1=5×=90.(10分)
由题表知,该样本数据落在[45,75)内的频率为(0.16+0.3+0.2)×100%=66%>65%,落在[30,90]内的频率约为×100%=93%<95%,(13分)
所以可以判定技术改造后的产品质量初级稳定,但不能判定该生产线技术改造成功.(15分)
18.解析 (1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(3分)
(2)由题中频率分布直方图得,
前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以40由,解得m=45.(12分)
(3)由题可知在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:吨)分别取55,65,75,85为代表,则他们的年用水量分别超出5吨,15吨,25吨,35吨,(14分)
则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元),
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(17分)
19.解析 (1)X在[75,100)内,以5为组距可分成5组:[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),
因为75≤X<100,5n≤X<5(n+1),n∈N*,
所以当n取15,16,17,18,19时,各个小区间的频率P=5Y=(3分)
由+k·=1,解得k=1.
故成绩落在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)内的频率分别是.(5分)
故估计低于100分的学生成绩的平均值为77.5×(分).(8分)
(2)因为成绩低于100分的学生有60人,
所以成绩在100分及其以上的学生有100-60=40(人),
设低于100分的学生的成绩为xi(i=1,2,…,60)分,则平均数=70分,方差=400分2,
设100分及其以上学生的成绩为yi(i=1,2,…,40)分,平均数为分,方差为分2,
100位学生的成绩为zm(m=1,2,…,100)分,则平均数为=94分,方差为=1 300分2,
所以60,所以=130.(12分)
由s2=,
得-702=400,故=5 300,
-942=1 300,故=10 136,(14分)
故-1302
=×(100×10 136-60×5 300)-1302=490.
所以数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值为130分,方差为490分2.(17分)
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2025苏教版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1 统计图表的应用
1.(2022天津,4)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位:℃),共100个数据,分成6组:[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],并整理得到如下的频率分布直方图,则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有( )
A.22年 B.23年 C.25年 D.35年
2.(多选题)(2020新高考Ⅱ,9)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化,各地有序推动复工复产,下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.
根据该折线图,( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间,复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天,复工指数和复产指数都超过80%
D.第9天至第11天,复产指数的增量大于复工指数的增量
3.(2021全国甲理,2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4.(2022北京,7)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
考点2 数字特征的计算及应用
5.(2024新课标Ⅱ,4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
6.(多选题)(2021新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.(2020全国Ⅲ理,3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
8.(2022全国甲理,2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
9.(多选题)(2023新课标Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
10.(2023全国乙理,17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
11.(2021全国乙理,17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
三年模拟练
应用实践
1.(2024安徽池州模拟)2024年1月27日国家统计局发布的2023年各月累计利润率与每百元营业收入中的成本数据如图所示,则( )
A.从每百元营业收入的成本中,剔除最大与最小的2个数据后的中位数与剔除前的数据的中位数不相同
B.2023年各月累计利润率的60%分位数为5.455%
C.每百元营业收入的成本与各月累计利润率是同步增大或减少的
D.每百元营业收入的成本中,1—4月份的比1—9月份的大
2.(多选题)(2024江苏高邮学情调研)某学校为了解高三学生的体重情况,采用分层抽样的方法从高三800名学生中抽取了一个容量为80的样本,其中,男生的平均体重为64千克,方差为124千克2;女生的平均体重为48千克,方差为140千克2,男女人数之比为5∶3,则下列说法正确的是( )
A.样本为该学校高三的学生
B.每一名学生被抽中的可能性为
C.该校高三学生的平均体重为58千克
D.该校高三学生体重的方差为190千克2
3.(多选题)(2024江苏常州期末)已知一组样本数据x1,x2,…,xn(n≥4),其中x1<0A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差
4.(多选题)(2023江苏苏锡常镇四市一模)某校1 000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).成绩不低于X分即为优秀,已知优秀学生有80人,则( )
A.a=0.008
B.X=120
C.不足70分的学生约有6人
D.本次考试的平均成绩约为93.6分
5.(2024陕西西安模拟)近年来“天宫课堂”受到广大中小学生的欢迎,激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪感.为领悟航天精神,感受中国梦想,某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛(满分100分),各年级学生踊跃参加.校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩,从两个年级的答卷中各随机选取了50份,将成绩进行统计,得到以下频数分布表:
成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
高一学生人数 15 5 15 15
高二学生人数 10 10 20 10
试利用样本估计总体的思想,解决下列问题.
(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次的竞赛成绩更好(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励,奖励方案有以下两种:
方案一:记学生得分为x分,当x<70时,奖励该学生10元食堂代金券;当70≤x<90时,奖励该学生25元食堂代金券;当x≥90时,奖励该学生35元食堂代金券.
方案二:得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券;得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券.
若希望高一年级学生获得多于高二年级的奖励,则应该选择哪种方案
迁移创新
6.(2024辽宁葫芦岛质量监测)某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长的调查.根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图(如图),将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”,并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”.
(1)试估算该市“阅读爱好者”的人数,并指出其中“读书迷”约为多少人;
(2)省内某机构开展“儒城”活动评选,规则如下:若城市中55%的成年人平均每天读书时长不低于a小时,则认定此城市为“儒城”.若该市被认定为“儒城”,则评选标准应满足什么条件 (精确到0.1)
(3)该市要成立“墨葫芦”读书会,吸纳会员不超过20万名.根据调查,如果收取会费,则非“阅读爱好者”不愿意加入读书会,而“阅读爱好者”愿意加入读书会.为了调控入会人数,设定会费为x(x>1)元,若适当提高会费,则“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少10(ln x)%,“读书迷”愿意加入的人数会减少%.问会费x至少定为多少元时,才能使会员的人数不超过20万
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.B 依题意,全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的频率是0.2×0.5+0.2×0.65=0.23,故全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有100×0.23=23(年).
2.CD 由题中折线图可知,第7天至第9天,复产指数与复工指数均减小,故A错误.
在这11天期间,复产指数的增量小于复工指数的增量,故B错误.易知C,D正确.故选CD.
3.C 由题中频率分布直方图可得,该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为(0.02+0.04)×1=0.06和(0.04+0.02×3)×1=0.1,则农户比率分别为6%和10%,故A、B中结论正确;
家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(万元),因为7.68>6.5,所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元,故C中结论不正确;
家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中结论正确.故选C.
4.D 当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026>lg 1 000=3,故二氧化碳处于固态,A错误;
当T=270,P=128时,lg P=lg 128>lg 100=2,故二氧化碳处于液态,B错误;
当T=300,P=9 987时,lg P=lg 9 987当T=360,P=729时,lg P=lg 729,3=lg 103>lg 729>lg 102=2,由题图易知二氧化碳处于超临界状态,D正确.
5.C A中,100块稻田亩产量的中位数为将100块稻田的亩产量数据由小到大排列后,第50、51个数据的平均数,由题表知,第50、51个数据在[1 050,1 100)内,故所求中位数应大于或等于1 050 kg,故A中结论错误.
B中,100块稻田的亩产量中,低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%=66%<80%,故B中结论错误.
C中,1 150-950=200(kg),1 200-900=300(kg),
∴100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间,故C中结论正确.
D中,100块稻田亩产量的平均值约为(925×6+975×12+1 025×18+1 075×30+1 125×24+1 175×10)÷100=1 067(kg),1 067>1 000,故D中结论错误.
6.CD A项,设xi,则xi+c,所以+c,因为c≠0,所以,所以A选项错误.
B项,因为yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,x2,…,xn的中位数加c,所以B选项错误.
C项,设)2,
则)2,所以,
所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.
D项,不妨设x1≤x2≤…≤xn,则第一组数据的极差为xn-x1,另设y1≤y2≤…≤yn,则第二组数据的极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1,所以两组数据的极差相同,所以D选项正确.故选CD.
7.B 根据平均数方差s2=以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表.
选项 平均数 方差s2 标准差s
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
8.B 解法一:根据散点图,讲座前问卷答题正确率的10个数据中,小于或等于70%的为5个,这意味着中位数必然大于70%,故选项A错误.
讲座后问卷答题正确率的10个数据中,有1个为80%,4个为85%,其余数据大于或等于90%.经估算知,平均数大于85%,故选项B正确.
从散点图可以看出,与讲座后的正确率的数据相比,讲座前问卷答题正确率的数据更为分散,故标准差更大,故选项C错误.
从散点图可直接看出,讲座前正确率的极差更大,故选项D错误.
解法二:根据散点图可知,讲座前问卷答题正确率的中位数为(70%+75%)>70%,故选项A错误.
由散点图中数据计算知,问卷答题正确率的平均数为89.5%,故选项B正确.
从散点图可以看出,与讲座后问卷答题的正确率数据相比,讲座前问卷答题的正确率数据更为分散,故标准差更大,故选项C错误.
由图中数据计算可知,讲座前的正确率极差为95%-60%=35%,讲座后问卷答题正确率的极差为100%-80%=20%,故选项D错误.
9.BD A错误,举例说明,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,3,4,5,8,则=3.5,
≠3.5;
B正确,设这组数据从小到大排列为x1,x'2,x'3,x'4,x'5,x6,则x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数为,∴x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数;
C错误,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,2,2,2,3,则=2,x2,x3,x4,x5的平均数为2,则x2,x3,x4,x5的标准差为0,
x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差s=>0;
D正确,由B选项知x2,x3,x4,x5的极差为x'5-x'2,x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差为x6-x1,显然x6-x1≥x'5-x'2.
10.解析 (1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)的值依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,则×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.
(2)由(1)知=11,s2=61,则,即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
11.解析 (1)由题中的数据可得,×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
×[(9.8-10)2+(10.3-10)2+…+(9.7-10)2]=0.036,
×[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+…+(10.5-10.3)2]=0.04,
(2)由(1)得=0.076,
从而()=0.030 4,所以,
又,所以,
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
三年模拟练
1.D 对于A,将每百元营业收入的成本数据从小到大排列,第6个数据为中位数,剔除最大与最小2个数据后,中位数不改变,故A错误;
对于B,2023年各月累计利润率共有11个数据,11×60%=6.6,所以这组数据的60%分位数为5.52%,故B错误;
对于C,2023年1—7月份的累计利润率为5.39%,1—8月份的累计利润率为5.52%,利润率增加,但1—7月份的每百元营业收入的成本为85.22元,
1—8月份的每百元营业收入的成本为85.17元,成本减少,所以不是同步的,故C错误;
对于D,由题图数据可知85.18>85.07,显然D正确.
故选D.
2.BCD 总体为该学校高三学生的体重,样本是抽取的80名学生的体重,即A错误;
由抽样比为可得,每一名学生被抽中的可能性为,即B正确;
由男生、女生的平均体重以及男女人数之比为5∶3可得,抽取的学生样本的平均体重为64×=58(千克),
因此可由样本估计总体,得该校高三学生的平均体重为58千克,即C正确;
由男生、女生样本方差可求得总样本的方差为×[140+(48-58)2]=190(千克2),
由样本估计总体,可知该校高三学生体重的方差为190千克2,即D正确.
故选BCD.
3.BC 不妨设x1≤x2≤…≤xn,等号不同时取得,
对于A选项,样本数据x1,x2,…,xn(n≥4)的极差为xn-x1,
样本数据y1,y2,…,yn的极差为yn-y1=(2xn+1)-(2x1+1)=2(xn-x1),
因为xn-x1>0,所以yn-y1=2(xn-x1)>xn-x1,故A错误.
对于B选项,设样本数据x1,x2,…,xn(n≥4)的平均数为,样本数据y1,y2,…,yn的平均数为,则,
+1,
令,解得=-1,即当=-1时,两组样本数据的平均数相等,故B正确.
对于C选项,当n=2m-1(m∈N*)时,
设样本数据x1,x2,…,xn(n≥4)的中位数为p,
则样本数据y1,y2,…,yn的中位数为2p+1,
同理可知当p=-1时,中位数相等;
当n=2m(m∈N*)时,设样本数据x1,x2,…,xn(n≥4)的中位数为q,
则样本数据y1,y2,…,yn的中位数为2q+1,
同理可知当q=-1时,两组数据的中位数相等,故C正确.
对于D选项,设样本数据x1,x2,…,xn(n≥4)的标准差为sx,样本数据y1,y2,…,yn的标准差为sy,
则,
=+1)]2+…+[(2xn+1)-(2+1)]2}
=,
易知sx>0,则sy=2sx>sx,故两组样本数据的标准差不可能相等,故D错误.故选BC.
4.AD 对于A,由题图得(0.002×2+0.004+a+0.014+0.020)×20=1,解得a=0.008,A正确;
对于B,成绩在[130,150]内的学生有1 000×(0.002×20)=40(人),在[110,130)内的学生有1 000×(0.008×20)=160(人),所以,解得X=125,B错误;
对于C,可估计不足70分的学生有(0.002+0.004)×20×1 000=120(人),C错误;
对于D,可估计平均成绩为40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6(分),D正确.故选AD.
5.解析 (1)设高一年级学生竞赛成绩的平均数为分,方差为分2,高二年级学生竞赛成绩的平均数为分,方差为分2,
则×(65×15+75×5+85×15+95×15)=81,
×[15×(65-81)2+5×(75-81)2+15×(85-81)2+15×(95-81)2]=144,
×(65×10+75×10+85×20+95×10)=81,
×[10×(65-81)2+10×(75-81)2+20×(85-81)2+10×(95-81)2]=104,
因为,所以高二年级学生这次竞赛成绩比较稳定且集中,成绩更好.
(2)若按照方案一,高一年级学生获得的奖励为15×10+(5+15)×25+15×35=1 175(元),
高二年级学生获得的奖励为10×10+(10+20)×25+10×35=1 200(元),
1 175<1 200,故按照方案一,高一年级学生获得的奖励少于高二年级.
若按照方案二,依题意,所抽取的100名参加竞赛学生的成绩的中位数为80+(分),
则样本中,高一年级学生成绩低于中位数的人数约为15+5+15×≈24(人),则高一年级获得的奖励为24×10+26×30=
1 020(元),
高二年级学生成绩低于中位数的人数约为10+10+20×≈26(人),则高二年级获得的奖励为26×10+24×30=980(元).
因为1 020>980,所以按照方案二,高一年级学生获得的奖励多于高二年级.
故若希望高一年级学生获得多于高二年级的奖励,则应该选择方案二.
6.解析 (1)样本中“阅读爱好者”出现的频率为(0.16+0.10+0.06)×0.5=0.16,
故该市“阅读爱好者”的人数为200×0.16=32(万),
“读书迷”人数为200×(0.06×0.5)=6(万),
所以32万“阅读爱好者”中,“读书迷”约有6万人.
(2)由题意知至多有45%的成年人平均每天读书时长少于a小时,即求得该市成年人平均每天读书时长数据的45%分位数即可,
又0.5×0.72=0.36<0.45,0.5×(0.72+0.44)=0.58>0.45,
所以[0.72×0.5+0.44×(a-0.5)]×100%=45%,可得a=≈0.7,即评选标准a不能大于0.7.
(3)由题知,最终入会的“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26万人,“读书迷”约有6万人,
令26≤20,即32-≤20,化简得13(ln x)2+113ln x-660≥0,
解得ln x≤-(舍去)或ln x≥4,所以x≥e4,
所以会费x至少定为e4元时,才能使会员的人数不超过20万.
素养评析 本题第(1)(2)问主要考查数学运算、数据分析的核心素养,能够在熟悉的情境中利用频率分布直方图,结合有关定义与性质求解,达到了水平一;第(3)问还考查了逻辑推理和数学建模的核心素养,要求能结合实际,运用不等式等知识解决实际问题,达到了水平二.
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2025苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对分层抽样的抽样比或权重理解有误致错
1.(2022江苏常州第一中学期中)某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同口罩,A、B、C三种口罩产量之比为2∶m∶1.为了调查这三种口罩的质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,样本中B种口罩数量比A种多40只,比C种多80只,则n=( )
A.240 B.280 C.320 D.360
2.(2023湖南长沙长郡中学模拟)为调查某地区中学生每天的睡眠时间,采用分层抽样的方法进行抽样,现抽取初中生800人,调查知其每天睡眠时间的均值为9小时,方差为1小时2;抽取高中生1 200人,调查知其每天睡眠时间的均值为8小时,方差为0.5小时2,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A.0.96小时2 B.0.94小时2 C.0.79小时2 D.0.75小时2
易错点2 忽视频率分布直方图的特征致错
3.(2024江苏泰州中学、宿迁中学、宜兴中学调研)为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情,某校举办了“学党史、育文化的党史知识竞赛,并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为( )
A.a的值为0.005
B.估计这组数据的众数为75
C.估计这组数据的85百分位数为85
D.估计成绩低于60分的有250人
易错点3 运用数字特征评价时考虑不周致错
4.(2024甘肃定西月考)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次射靶成绩均为整数(单位:环),如图所示.
(1)填写下表:
平均数/环 方差/环2 中位数/环 命中9环及以上/次
甲 1.2 7
乙 3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:
①从平均数与方差相结合的角度分析偏离程度;
②从平均数与中位数相结合的角度分析谁的成绩好些;
③从平均数和命中9环以上的次数看谁的成绩好些;
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更好.
思想方法练
一、数形结合思想在统计图表中的应用
1.(2023江苏盐城响水中学期初检测)为了解户籍和性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本进行调查,其中城镇户籍与农民户籍各50人,男性60人,女性40人,并绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
二、函数与方程思想在统计中的应用
2.设样本数据x1,x2,…,x2 021的平均数为,方差为s2,若新数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 021+1的平均数比方差大3,则s2-的最大值为 .
3.(2024四川成都诊断检测)2024年1月,某市的高二调研考试首次采用了“3+1+2”的新高考模式.该模式下,计算学生个人总成绩时,“3+1”的学科均以原始分记入,再选的“2”个学科(学生在政治、地理、化学、生物中选修2科)以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法如下:先将某学生再选科目的原始成绩按从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级,各等级人数所占比例分别约为15%,35%,35%,13%,2%.依照转换公式,将五个等级的原始分分别转换到100~86,85~71,70~56,55~41,40~30这五个分数区间内,并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”,最后得到保留为整数的转换分成绩,并作为赋分成绩.具体等级、比例和赋分区间如下表:
等级 A B C D E
比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 100~86 85~71 70~56 55~41 40~30
已知该市本次高二调研考试中化学科目考试的满分为100分.
(1)已知转换公式符合一次函数模型,若学生甲、乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84分,78分,转换分成绩分别为78分,71分,试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分;
(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析,得到其频率分布直方图如图所示,求出图中a的值,并用样本估计总体的方法,估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.A 设样本中A、B、C三种口罩分别有a只,b只,c只,
则=2,∴b=120,
则a=80,c=40,故n=a+b+c=240.故选A.
易错警示 分层抽样就是按比例抽样,解决有关分层抽样问题时,先根据题目条件得出或计算出相应比例,或者各部分的权重,再列式求解.
2.B 该地区中学生每天睡眠时间的均值为×8=8.4(小时),
则该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[0.5+(8-8.4)2]=0.94(小时2).故选B.
3.C 根据题中频率分布直方图可知10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,即a=0.005,故A中说法正确;
由题图易得成绩在区间[70,80)内的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B中说法正确;
由题图中前四组频率之和为(2+3+3+6)×0.005×10=0.7,
题图中前五组频率之和为(2+3+3+6+5)×0.005×10=0.95,
可知这组数据的85百分位数在第五组数据中,
设这组数据的85百分位数为m,
则有0.7+5×0.005×(m-80)=0.85,
故m=86,则估计这组数据的85百分位数为86,故C中说法错误;
10×0.005×(2+3)×1 000=250,故估计成绩低于60分的有250人,故D中说法正确.故选C.
易错警示 在频率分布直方图中,纵轴表示频率与组距的比值,而不是频率.各矩形的面积之比与高度之比都等于频率之比.
4.解析 (1)甲的平均数为=7(环),
乙的平均数为=7(环),
乙的方差×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=5.4(环2),
乙的环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,
所以乙的中位数为=7.5(环),
故补全表格如下:
平均数/环 方差/环2 中位数/环 命中9环及以上/次
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数都为7环,但是,说明甲的偏离程度小,乙的偏离程度大;
②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大,可预见乙射击环数大的次数比甲多,所以乙的成绩好些;
③甲、乙的平均水平相同,但乙命中9环以上的次数比甲多,可知乙的射击成绩好些;
④从题中折线图上看,乙的成绩基本呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在上升,有可挖掘的潜力.
易错警示 当样本的平均数相等或相差无几时,要用样本的方差或标准差来比较数据的离散程度,再进行判断.如本题中甲、乙的平均数一样,但乙的方差大,是不是乙的成绩就不好呢 其实乙的成绩一直处于上升趋势,所以还要根据实际情况及多种数据结合判断,切勿根据单一的数字特征判断后就得结论.
思想方法练
1.C 观察题图,结合图中的数据进行分析,从而得出结论.
对于A,城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%,
∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关,故A中叙述正确;
对于B,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,
∴是否倾向选择生育二胎与性别无关,故B中叙述正确;
对于C,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,相应人数为60×60%=36,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,相应人数为40×60%=24,
∴倾向选择生育二胎的人员中,男性人数比女性人数多,故C中叙述错误;
对于D,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数为50×(1-80%)=10,城镇户籍人数为50×(1-40%)=30,
∴倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D中叙述正确.
故选C.
2.答案 -1
解析 设数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 021+1的平均数为,方差为,则=4s2.
因为新数据的平均数比方差大3,
所以2+1=4s2+3,可得s2=,
列出s2- 2的表达式,结合二次函数的性质求最值,充分体现了函数思想的应用.
则s2- 2=.
由s2=≥0,可得≥1,
由二次函数的性质知,当=1时,s2-取得最大值,且最大值为-1.
3.解析 (1)设转换公式中转换分成绩y关于原始成绩x的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),
则
通过构建关于k,b的方程组,用待定系数法求解,体现了方程思想的应用.
解得
∵B等级中转换分的最高分为85分,
∴令85=x-20,解得x=90.
故该市本次化学原始成绩B等级中的最高分为90分.
(2)∵10×(0.005+0.010+0.012+0.015+0.033+a)=1,
根据频率分布直方图的性质建立关于a的方程,求出a的值.
∴a=0.025.
设该市本次化学原始成绩B等级中的最低分为x分,
∵10×0.010+10×0.015+10×0.025=0.5,∴x=70,
即该市本次化学原始成绩B等级中的最低分为70分.
思想方法 解决数字特征的计算问题时,常会用到解方程,而涉及数字特征的最值问题时,偶尔会将其转化为函数最值问题,利用函数的性质求解,这是函数与方程思想在统计中的典型应用.
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