2024-2025学年湖南省长沙麓山国际实验学校高一（上）第一次学情检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年长沙麓山国际实验学校高一（上）第一次学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. 且
2.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.已知，，则使成立的充分条件为( )
A. B. C. D.
4.设集合，或，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.关于的不等式的解集为或，则下列选项正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
6.已知命题：，，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.已知正数，满足若不等式恒成立，实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是( )
A. ， B.
C. D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，，，则下面说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，，则
10.给出以下四个判断，其中正确的是( )
A. 已知函数的值域为
B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是
C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有个
D. 若函数，且，则实数的值为
11.下列说法正确的有( )
A. 若，则的最大值是
B. 若，则的最小值为
C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是
D. 已知，，且，则最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题，的否定是______．
13.函数的值域为______．
14.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形图中阴影部分和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角图中四个三角形上铺草坪，造价为元设总造价为单位：元，长为单位：．
将表示为的函数；
当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．
17.本小题分
已知，且．
求的最小值．
求的最小值．
求的最小值．
18.本小题分
已知函数，．
若在区间上最大值为，求实数的值；
当时，求不等式的解集．
19.本小题分
已知集合是满足下列性质的函数的全体：
在定义域内存在，使函数成立；
请给出一个的值，使函数；
函数是否是集合中的元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；
设函数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：全集，集合，．
当时，，
则，．
因为，则，
当时，，解得，成立；
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为：．
16.解：由题意，十字形区域的面积为且，
则小正方形的面积为，则阴影部分的面积为，
设，则，可得，
且，解得，
所以
，
所以关于的函数关系式为．
由知，，
由，
当且仅当，即时等号成立，
所以的长为米时，总造价为最小，且最小值为元．
17.解：，且，
由于，故，
解得，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为；
，且，
由于，故，
解得，
故的最小值为，当且仅当时，等号成立；
，若，显然不成立，舍去，
故，故，
因为，，故，
故，
令，，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，，故的最小值为．
18.解：函数图象的对称轴为，
当，即时，，解得，则；当，即时，，解得，矛盾，所以．
显然，而，
因此不等式为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为，
所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为，当时，不等式解集为．
19.解：令，则，成立；
假设函数是集合中的元素，则存在，使
成立，
即，
解得：，
故组成的集合是：；
由于函数，，由，
得，当时，成立；
当时，的左边为免数，右边为正数，即成立；
当时，可化为，
也即存在，使成立；
当，即时，显然存在，使成立；
当，即时，化为，显然存在，使成立；
当，即时，不等式对应的一元二次方程，开口向下且判别式，
由于，所以，
所以不存在，使成立．
综上所述，安数的取值范围是或．
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