2024-2025学年云南省大理州下关一中教育集团高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）（含答案）

2024-2025学年云南省大理州下关一中教育集团高二（上）段考
数学试卷（10月份）（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
8.在三棱锥中，，，，分别为，的中点，异面直线与成角为，，，为钝角，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10.一个袋子中有标号分别为，，，的个小球，除标号外无差异不放回地取两次，每次取出一个事件“两次取出球的标号为和”，事件“第二次取出球的标号为”，事件“两次取出球的标号之和为”，则( )
A. B.
C. 事件与不互斥 D. 事件与相互独立
11.已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则( )
A. B. 周期
C. 在单调递减 D. 满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与：平行，则的值为______．
13.若，，且，则的最小值为______．
14.胡夫金字塔是埃及人智慧的结晶，其形状近似一个正四棱锥，古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积等于金字塔高的平方，则正四棱锥侧面底边上的高与底面边长一半的比值为______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
圆的圆心为，且过点
求圆的标准方程；
直线：与圆交，两点，且，求．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
设中点为，且，求的最大值及此时的面积．
17.本小题分
某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年户居民每户的月均用电量单位：度，将数据按照，，，，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数；
Ⅱ现从第组和第组的居民中任选取户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．
18.本小题分
对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．
若，，，则是否为，的生成函数？并说明理由；
设，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
设，，取，，生成函数图象的最低点坐标为若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为圆的圆心为，且过点，
所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，则
由得：，
所以由圆心到直线的距离公式可得，
解得或．
16.解：因为，
由余弦定理可知，
因为，
所以．
设，则在中，由，可知，
由正弦定理及，有，
所以，
所以，
从而，
由，可知，
所以当，即时，的最大值为，
此时，，
所以．
17.解：Ⅰ，
．
设中位数是度，前组的频率之和为，
而前组的频率之和为，
所以，，
故，即居民月均用电量的中位数为度．
Ⅱ第组的户数为，分别设为，，，，
第组的户数为，分别设为，，
则从中任选出户的基本事件为：
，，，，，
，，，，，
，，，，共种．
其中两组中各有一户被选中的基本事件为：
，，，，
，，，共种．
所以第，组各有一户被选中的概率．
18.解：因为，，
又因为
，
所以是、的生成函数；
因为，，，，生成函数，
所以，
由于不等式在上有解，即，
化简得，
因为，
令，所以，
则有，得，
由题意可得，由于函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，
所以实数的取值范围是；
因为，，取，，生成函数，
所以，
又因为函数图象的最低点坐标为，
由基本不等式得，
当且仅当时，即时，等号成立，
即，解得，，
所以，任意正实数，且，
所以
，
令，由基本不等式得，
由双勾函数的单调性知，函数在上单调递减，
则，
所以．
所以存在最大值的常数．
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