2024-2025学年辽宁省葫芦岛市葫芦岛第一高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省葫芦岛第一高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则( )
A. B.
C. D.
5.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是圆：上一个动点，且直线：与直线：相交于点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为
B. 已知曲线：不全为，则曲线的周长为
C. 若直线与直线垂直，则
D. 圆：与圆：的公切线条数为
10.已知直线：，圆：，为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论错误的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 为线段的中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C. 的最小值为
D. 直线与直线所成角的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 ______．
13.在直线：上一点到点，两点距离之和最小，则点的坐标为______．
14.已知线段是圆：的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求直线的方程；
求直线的方程；
求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．
若的坐标为，求过点的切线方程；
试问直线是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
直线与圆交于，两点，求的取值范围为坐标原点．
18.本小题分
如图所示，在中，，，，垂直平分现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图所示的空间几何体折叠后点记作点．
求点到面的距离；
点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置．
19.本小题分
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
求圆的标准方程；
若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度．
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值．
参考答案
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15.解：所在直线的方程为，
直线的斜率为，
边所在的直线方程为，即；
由，得，
即直线与边中线的交点为；
设，
则由已知条件得，
解得，；
所以边所在的直线方程为，即；
是的中点，，
到的距离为：；
又点到的距离为：，
．
另解：是的中点，，
，
由，
得，，
到的距离为：，
．
16.解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
17.解：由圆：，得圆心，半径，
设过点的切线方程为，即，
，解得或，
过点的切线方程为或；
圆：，圆心，半径，
设，
由题意知，在以为直径的圆上，又，
，即，
又圆：，即，
故直线的方程为，即，
由，解得，，即直线恒过定点
由，得，，
设，，
，，，
，，
，
，，
的取值范围为
18.解：由，，，
得，
所以，所以，，
因为垂直平分，所以，，
所以为平面与平面的二面角的平面角，
所以，，所以为等边三角形，
取中点，连接，，所以，．
因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，
所以点到面的距离为；
设，由，
可得，
所以，所以，
所以，
设直线与平面所成角为，
则有，
所以当时，有最大值为，
此时直线与平面所成角最大，
即当时，直线与平面所成角最大．
19.解：圆心在轴上，
可设圆的方程为，
圆与直线相切于点，
，解得，，
故圆的方程为．
直线：，
，令，解得，
直线过定点，
圆的方程为．
则圆心，半径，
，故定点在圆的内部，
当直线与直线垂直时，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短长度为．
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，
，
设直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，化简整理可得，，解得或，
故点的坐标为，
直线的斜率为，
同理可得，点的坐标为，
直线，分别与直线相交于，两点，
，，
，
，同理可得，，
，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
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