山东省淄博四中2024-2025学年高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博四中高一（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.全称量词命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
6.“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为，会打羽毛球的教师人数为，会打篮球的教师人数为，若会至少其中一个体育项目的教师人数为，且三个体育项目都会的教师人数为，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为( )
A. B. C. D.
7.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的解集为
8.已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？”现有如下表示：
已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为( )
A. B. C. D.
11.若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合，，则 ______．
13.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是______．
14.若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
求，；
设，求A.
16.本小题分
已知实数，满足：
，，求的取值范围；
，，求的取值范围．
17.本小题分
已知集合，且．
若“命题：，”是真命题，求实数的取值范围；
若：是：的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，，且，求的最小值．
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于，所以，
而那么则最小值为．
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为．
你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的需说明理由
为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
已知，，，且，求证：．
已知，，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：由，可得，
故，解得，故A．
由，可得或，解得或，
故．
故．
因为，，
所以，．
16.解：因为，所以，又因为，所以；
因为，所以，又因为，所以；
所以的取值范围为，的取值范围为；
令，，，
所以，解得，
因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围为．
17.解：集合，
，
，
命题：，是真命题，可知，
，，
，，故的取值范围是．
若：是：的充分不必要条件，得是的真子集，，
，解得，故的取值范围是．
18.解：由不等式的解集为，
当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，不等式可化为，
要使得不等式的解集为，
则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围为．
由不等式，可得，
当时，即时，不等式即为，解得，解集为；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为或；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
19.解：韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误．
原因是在李雷的解法中，的等号成立时；
，当且仅当，即时取等号．
以上两式同时取等时，；
证明：由，，，且，
则
．
当且仅当时等号成立，
故；
解：，，
则
，当且仅当，
即时等号成空．
．
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