上海市虹口区复兴中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市虹口区复兴中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则如图阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. ， D.
3.方程在区间和各有一个根的充要条件是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若关于的不等式的解集为，，则 ( )
A. 不存在有序数组，，，使得
B. 存在唯一有序数组，，，使得
C. 有且只有两组有序数组，，，使得
D. 存在无穷多组有序数组，，，使得
二、填空题：本题共10小题，共42分。
5.已知集合，，则 ______．
6.已知集合，，且，则的值为 ．
7.若，则实数 ______．
8.命题“，是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设______．
9.若集合的子集只有两个，则实数 ______．
10.设命题：集合，命题：集合，若，则实数的取值范围是______．
11.设、是方程的两个实数根，则 ______．
12.设关于的方程集为，关于的不等式的解集为，若集合，则______．
13.集合，任取，，，，这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为______．
14.设，，若存在唯一的使得关于的不等式组有解，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
当时，求证：；
已知，，，试证明，，至少有一个不小于．
17.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
若，求的取值范围；
若，求实数的取值范围；
是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
记，，存在正整数，且若集合满足，则称集合为“谐调集”．
分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
已知实数、，若集合为“谐调集”，是否存在实数满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由；
若有限集为“谐调集”，且集合中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.或
6.
7.
8.，不都等于
9.或
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
．
由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是．
16.证明：
，
，，

假设，，都小于，即，，，
则有
而
与矛盾，
故，，至少有一个不小于．
17.解：当时，不等式为，即，解得，
所以的取值范围是．
当时，解得，或，
当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为；
当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；
当时，解得，
所以的取值范围是；
综上所述，实数的取值范围是，．
根据题意，得出解集，，
当时，解得，或，
时，不等式的解集为，满足条件，
时，恒成立，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
综上，存在满足条件的值为．
18.解：因为，所以不是“谐调集”，
因为，所以是“谐调集”；
若存在符合题意的实数，则，
所以，即，解得或或，
当时，则，，不符合题意；
当时，，，
由此，、是方程的实数解．
但，方程无实数解，所以不符合题意；
当时，同理，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数；
不妨设中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，，，，，
当时，，，，均为正整数，，，，．
，
又，，即，
但当时，，矛盾．
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为．
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