山东省淄博五中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博五中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.下列四式不能化简为的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，分别是四面体的棱，的中点，点在线段上，且，设向量，则 ( )
A. B.
C. D.
5.已知小华每次投篮投中率都是，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示投中，，，，，，表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：
据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为( )
A. B. C. D.
6.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习．某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育．现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科政治、历史、地理课程的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.九章算术是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体如图，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
11.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是，乙机床的正品率为，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则( )
A. 两件都是次品的概率为
B. 事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C. 恰有一件正品的概率为
D. 事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
13.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出至少有一人解出来的概率是______．
14.正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，和该截面所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设．
试用表示；
求的长度．
16.本小题分
清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加已知该中学初一、初二、初三个年级的学生人数之比为：：，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据．
年级
人数
方式 初一年级 初二年级 初三年级
前往革命烈士纪念馆
线上网络
求，的值；
从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．
直线与平面所成角的正弦值．
点到平面的距离．
18.本小题分
如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
19.本小题分
垃圾分类一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响已知一轮活动中，“明亮队”至少答对道题的概率为．
求的值；
求“明亮队”在两轮活动中答对道题的概率．
参考答案
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15.解：
；
，是线段的中点，
、、三点共线，且是线段的中点，
，
，
，，，，，，
．
即的长度为．
16.解：由题可知，：：：：，解得，；
由知，选择网络方式的，初一有人分别记为，，，
初二和初三都是人分别记为，和，，
任取人有，，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，共种方法；
同一个年级的有，，，，共种方法，
故人是同一年级的概率为．
17.解：四边形为菱形，
，
又面，，，两两垂直，
以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可知，，，且为中点，
，，，，，，
，，，
设面的法向量为，
，
，令，则，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
由可知，面的一个法向量为，
点到平面的距离，
点到平面的距离为．
18.证明：由题意知、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，所以，
，，，
因为，，所以，，
所以平面；
解：由知平面的法向量为，
，，
平面与的法向量，
，令，，
，
所以平面与平面的夹角的大小为．
19.解：设“一轮活动中小明答对一题”，
“一轮活动中小亮答对一题”，则，，
设“一轮活动中，明亮队至少答对道题”，则，
每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，
与相互独立，从而与相互独立，
，
解得．
设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，，，，
由题意得，
，
，
，
设“明亮队在两轮活动中答对道题”，
则，和相互独立，则与互斥，
．
“明亮队”在两轮活动中答对道题的概率为．
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