广东省广州市华南师大附中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.“”是“两条直线，平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在正四棱锥中，用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，，，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.若圆：上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，平面，，，是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是( )
A. B. C. D.
8.已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角，，是三角形的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则是直角三角形
10.已知：，直线：，则下列结论正确的有( )
A. 直线和可能相切
B. 直线过定点
C. 直线被截得的弦最长时，直线的方程为
D. 直线被截得的弦长最小值为
11.已知圆：，这些圆的全体构成集合，则( )
A. 轴截圆所得的弦长为
B. 对任意正整数，圆内含于圆
C. 任意正实数，存在，使得圆与直线有交点
D. 存在正实数，使得中与直线相交的圆有且仅有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的圆的切线方程为______．
13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______．
14.在边长为的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且：：：：．
求；
若点为的中点，且，求的面积．
16.本小题分
已知为坐标原点，点和直线：，点是点关于直线的对称点，且点满足．
求点的坐标及点的轨迹方程；
若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知圆过点，且与圆：关于直线对称．
判断圆与圆的位置关系，并说明理由；
过点作两条相异直线分别与相交于，．
若直线和直线互相垂直，求的最大值；
若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
19.本小题分
已知集合，，且中元素的个数为若存在，得为的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的，，均为的正整数指则称为的强子集．
Ⅰ请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由；
Ⅱ是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；
Ⅲ若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意，设，，，，
则由余弦定理得；
在中，，则，
由点为的中点，得，又，
由余弦定理得，
即，
即，又，解得，
故，，，
所以．
16.解：设，
由题有，
解得，故B，
设，则，
整理得，
故点的轨迹方程为；
由知，圆的圆心为，半径，
因为点的轨迹与直线有公共点，
所以，解得或，
所以的取值范围是．
17.解：，，，则，，
中，，
故AC，故DC，
又因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，平面，底面，故平面平面，
作，垂直为，连接，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
另解：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知，即，
中，由可知，，，，，
故，所以，
故，解得，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解设圆心，则，解得分
则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为
，又两半径之和为，圆与圆外切．分
令、即，为过点的两条弦
设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，
所以，即，化简得分
从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为分
另解：若直线与中有一条直线的斜率不存在，
则，此时分
若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设：，即，
点到的距离为，同理可得点到的距离为，
分
， 分
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为分
直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设：，
：，由，得
因为的横坐标一定是该方程的解，故可得分
同理，所以，分
所以，直线和一定平行．分
说明：解答题方法不唯一时，评分参照执行．
19.解：Ⅰ是的弱子集，不是的弱子集．
理由如下：，中存在两个元素的和是的正整数指数幂，所以是的弱子集．
，，，中任意两个元素的和都不是的正整数指数幂，所以不是的弱子集．
Ⅱ不存在的强子集．
理由如下：假设存在的强子集，不妨设，，，为正整数，
，，，则，，，为正整数，，
则，，代入中，所以，
所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集．
Ⅲ设，，，，，，，
若不是的弱子集，则最多能包含，，，中的一个元素以及，，中的元素，一共个元素，
令，中任意两个元素的和都不是的正整数指数幂，所以不是的弱子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的弱子集，
当时，，，，中至少有一个集合是的子集，此时中一定存在两数之和为的正整数幂，
即的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，所以的最小值为．
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