广西南宁市邕宁高级中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁市邕宁高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
3.在空间直角坐标系中，关于平面的对称点为，若对应点，，则( )
A. B. C. D.
4.已知点在圆：外，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴、轴、轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”若，则向量的斜坐标为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知直线：，则下列说法不正确的是( )
A. 直线恒过点
B. 若直线与轴的夹角为，则
C. 直线的斜率不可能等于
D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
7.设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：及直线：，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或 B. 存在，使得
C. 若，的交点横坐标为，则或 D. 若且，则一定经过第一象限
10.下列说法正确的是( )
A. 已知，，则在上的投影向量为
B. ，，，是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则，，，共面
C. 若，则，，，四点共面
D. 若向量，是不共线的非零向量则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11.在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ______．
13.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ______．
14.若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
Ⅰ求线段的垂直平分线方程；
Ⅱ求圆的标准方程；
Ⅲ过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，．
用，，分别表示向量，；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，且．
求角；
如图，边的垂直平分线交于，交边于，，求长．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛约定先赢两局者获胜，比赛随即结束已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
19.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，请用空间向量的知识解答下列问题：
求与平面所成角的大小；
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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15.解： 根据题意，设的中点为，
又由点，，则；
由圆的性质，得，所以，得；
所以线段的垂直平分线的方程是；
Ⅱ 设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得．
所以 圆心，则，
所以 圆的标准方程为；
Ⅲ设为的中点，则，圆心到直线的距离，
当的斜率不存在时，：，此时，符合题意，
当的斜率存在时，设：，即，
由题意得，解得：．
故直线的方程为，即；
综上直线的方程或．
16.解：如图，为棱的中点，，
，
又为棱的中点，
正四面体中，的两两夹角都为，并设正四面体的棱长为，则它们的模都为，
，
，同理，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
17.解：由，根据正弦定理得，
结合，可得，
整理得结合，可得，
所以，即，可得，
因为，，所以，可得；
连接，因为且为中点，
所以，即是等腰三角形，且是一个底角．
所以，在中，，
根据正弦定理得，可得，
所以在中，，可得．
18.解：第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为，
乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为，
综上，甲获胜的概率为．
若第一局乙丙对战，由知甲获胜的概率为，
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为；
若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况：
甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为，
甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为，
甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
因为，
所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大．
19.解：因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，
又平面平面，两平面交线为，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，
因为，平面，所以，，
故，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，由勾股定理得，
所以，，，，
平面的法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则，，
因为，所以，
所以与平面所成角的大小为；
设平面的法向量为，
则，令，得，，则
连接，
因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，
设，则，
即，，，故E，
设，则，
即，故，
设平面的法向量为，
则，
解得，设，则，故，
所以，，
化减得，
两边平方得，化简得，
解得或
设，则，设，
则，解得，，
故，
当：因为，
所以，解得，
解得满足要求，
当，，因为，所以，
解得，解得，满足要求．
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或．
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