四川省成都市石室中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市石室中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. ， B. ，
C. D.
3.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
4.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.对于实数，，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足：，，当时，有，则称函数为“理想函数”根据此定义，下列函数为“理想函数”的是( )
A. B. C. D.
9.，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知实数，，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.下列说法不正确的是( )
A. 已知，，若，则组成集合为
B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C. 的定义域为，则的定义域为
D. 不等式解集为，则
12.对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
，；，，，则称函数为“函数”则( )
A. 若为“函数”，则其图像恒过定点
B. 定义在上的函数上不是“函数”
C. 定义在上的函数上是“函数”表示不大于的最大整数
D. 若为“函数”，则一定是上的增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.求函数的定义域为______．
15.已知，，则的取值范围是______．
16.已知，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设全集，集合，集合，其中．
当时，求，；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知不等式的解集为，求实数，的值；
设，解关于的不等式．
19.本小题分
已知函数，且，，
求的解析式；
已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数若，一真一假，求实数的取值范围．
20.本小题分
对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，．
对于函数，分别求出集合和；
设，若，求集合．
21.本小题分
汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法如图所示将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为米秒，且时，通过大数据统计分析得到如表其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，．
阶段 、准备 、人的反应 、系统反应 、制动
时间 秒 秒
距离 米 米
请写出报警距离米与车速米秒之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间精确到秒；
若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米秒以下？合多少千米小时？
22.本小题分
已知二次函数．
若在的最大值为，求的值；
若对任意实数，总存在，，使得，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：由，即，
解得或，
所以或，
则，
由，即，
解得，
所以，
当时，，
所以，；
因为且，
所以或，
解得或，
即的取值范围为或．
18.解：因为的解集为，
所以和为方程的两个实根，二次项系数不为，
故，解得．
当，时，的解集为，符合题意．
综上，，．
当时，不等式可化为，解得，即原不等式的解集为．
当时，方程的两个根分别为和，
当时，解不等式得或，即原不等式的解集为或
当时，不等式无解，即原不等式的解集为；
当时，解不等式得，即原不等式的解集为：；
当时，解不等式得，即原不等式的解集为；
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19.解：由，则的对称轴是，
所以，
又，
所以的解析式是．
若为真，不等式在时恒成立，
即对任意的恒成立，
而函数的图象开口向上，对称轴为，在上单调递减，且，则
若为真，即在内是单调函数，
则或，
解得或；
由，一真一假，得真假，即，或假真，即，
所以实数的取值范围为或．
20.解：根据题意，令，可得，解得；
令，可得，解得，
所以集合，．
由函数，
因为，可得，即，
解得，，所以，
可得，
整理得，即，
所以，解得或或，
所以集合．
21.解：根据题意，
，
即，，；
当时，
秒，
当且仅当，即时等号成立，
即汽车撞上固定障碍物的最短时间为秒．
依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，
则路况最糟糕时也需满足，
即时，，
即，又，
解得，
即汽车的行驶速度应限制在米秒以下，合千米小时．
22.解：由解析式知为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
当时，即时，
在上单调递减，
所以，不合题意；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
又，，
在的最大值为，
所以，
解得，
综上所述．
若对任意实数，总存在，，使得，
则对恒成立，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，单调递增，
所以，
所以；
当即时，
在上单调递减，
所以，
当时，单调递减，
所以，
所以；
当即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，
又，，
令，
则在上单调递增，
所以，
解得；
当即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，
在上单调递减，
所以，
解得；
综上所述，的取值范围是．
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