上海市青浦高级中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，正确的个数是( )
；；；
；；．
A. B. C. D.
2.已知集合与集合的元素个数之和为个，中有个元素，若，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，集合，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，集合，其中，若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为( )
A. 取遍任意大于的实数 B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.用列举法写出所有小于的素数组成的集合______．
6.已知全集，集合，则 ______．
7.命题“若，则”是______命题填“真”或“假”
8.已知，则实数______．
9.陈述句“，都是正数”的否定形式是______．
10.已知集合，，则 ______．
11.已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
13.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
14.集合的子集个数为______．
15.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理由此可得，“积跬步”是“至千里”的______条件填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等
16.对，定义一种新运算，规定：其中，均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，，若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解关于的不等式组．
18.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，且，求的值．
19.本小题分
设，已知：关于的一元二次方程有两个相异正根；：对任意实数，不等式恒成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
判断，是否成立？给出你的结论，并说明理由．
20.本小题分
已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和．
；
．
21.本小题分
集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
判断集合、是否为“可分集合”不用说明理由；
求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
若集合是“可分集合”，证明是奇数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.假
8.
9.，不都是正数
10.
11.
12.
13.
14.
15.必要不充分条件
16.
17.解：不等式组可化为，
解得，即或；
所以不等式组的解集为或．
18.解：．
若，则，
而集合，
则，解得：，
故B，
故A；
因为，，所以，为方程的根，
若，则方程只有一个根，
，解得或，
所以方程，即为方程或方程，
解得或，都不满足，不符合题意；
若，则，为方程的两个不等的根，
则，
由，可得，
解得：或，
又，所以或，故
综上的值为．
19.解：由一元二次方程有两个相异正根，得，
解得，所以为真命题时，实数的取值范围是；
由知，，
对于：时，不等式为恒成立，
时，应满足，解得，
综上，；
所以成立，不成立．
20.解：因为且为非空集合，
对于方程，
当，即时，解得，
所以，此时集合中所有元素之和；
当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为，
此时集合中所有元素之和；
综上可得集合中所有元素之和或；
因为，
由，则或，
对于，解得，所以；
对于，
当，即时，解得，
所以，此时集合中所有元素之和；
当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为，
若为方程的解，则，此时方程的两根为和，
此时，则集合中所有元素之和；
若不为方程的解，即，
此时集合中所有元素之和；
综上可得：集合中所有元素之和或或．
21.解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”，
对于，集合所有元素之和为．
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意．
综上所述，集合是“可分集合”．
证明：不妨设，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有，或者，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有，或者，
由得，矛盾，由得，矛盾，
由得矛盾，由得矛盾，
故当时，集合一定不是“可分集合”．
证明：设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同，
若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由知为奇数，
综上，集合中元素个数为奇数．
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