江苏省无锡一中2024-2025学年高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡一中高二（上）质检数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D.
2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.已知直线：过点，则( )
A. 点一定在直线上 B. 点一定在直线上
C. 点一定在直线上 D. 点一定在直线上
5.已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点，旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.教材页第题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．
若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证：；
若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：．
利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，错误的是( )
A. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量
B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成角为
C. 已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，也能作为空间向量的一个基底
D. 在四面体中，，，则
10.下列结论错误的是( )
A. 过，两点的所有直线，其方程均可写为
B. 已知点，，则过点且与距离为的直线的方程为
C. 直线与直线之间的距离为
D. 已知点，，点在直线上，则的最小值为
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A. 若点，，则
B. 若点，，则在轴上存在点，使得
C. 若点在上，点在直线上，则的值可以是
D. 若点，点在直线上，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以为方向向量，且过点的直线方程为______．
13.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的
中点，，与平面交于点，则 ．
14.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实
上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决已知，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，．
已知向量与互相垂直，求的值；
求以，为邻边的平行四边形的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求直线与平面所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知直线：与直线：，．
若，求的值；
若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若．
求证：平面；
求向量在向量上的投影向量的模．
是否存在点，使得，且二面角的正弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于．
若，，求的值；
若，求面积的最大值，并求出相应的值；
已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围．
参考答案
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15.解：空间中三点，，，
，，
，
向量与互相垂直，
，
解得；
，
，
以，为邻边的平行四边形的面积为：
．
16.解：取的中点，连接，，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，所以，
故以为原点，以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
设直线与平面所成角为，，
则，，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
由知，，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
17.解：若，则，
解得或．
若点在直线上，则，即，
所以，
当直线经过原点时，直线的方程为，即；
当直线不经过原点时，设直线的方程为，
代入点，有，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
将直线：整理得，
令，得，所以直线恒过定点，即，
因为边上的高所在直线的方程为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
又中线所在直线的方程为，
联立，解得，即，
设，
代入高线所在直线的方程，有，
由，知的中点的坐标为，
代入中线所在直线的方程，有，即，
联立解得，，即，
所以直线的方程为，即．
18.解：证明：由底面，底面，
可得，又，
，，平面，
所以平面；
由平面，可得，
又，，，则有，
故BC，且，
则在上的投影向量的模为：
；
如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，
垂直于方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
由知，，又，故B，
由题意可得，，，
设，则，，，
由，可得，即，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，，则，
不妨取平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则由题意有，故，
则由，
可得，，
联立，可得或，
当时，，此时与重合，故舍去，
则，故AD．
19.解：因为，所以，
当时，的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以．
由题意知，直线的方程为，
所以到直线的距离为，
所以，
所以的面积，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，整理得，解得或舍负，
所以面积的最大值为，相应的值为．
设，，，，，，
设直线的倾斜角为，则，，
因为，的中点为，
所以，解得，
所以，，
而，
所以，
整理得，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为．
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